[论文解读] Shenfun -- automating the spectral Galerkin method

Mikael Mortensen|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2017

Scientific Research and Discoveries参考文献 5被引用 3

一句话总结

Shenfun 是一个基于 Python 的高级软件框架，可自动执行在具有一个非周期性方向和任意数量周期性方向的简单张量积区域上求解偏微分方程（PDEs）的谱伽辽金法。它采用类似 FEniCS 的变分形式接口，通过 MPI 和 FFTW 实现高效的并行计算，并实现了高精度与高性能——通过求解线性和非线性 PDE 例如带有去混叠和对称性保持的吉茨堡-朗道方程得到验证。

ABSTRACT

With the shenfun Python module (github.com/spectralDNS/shenfun) an effort is made towards automating the implementation of the spectral Galerkin method for simple tensor product domains, consisting of (currently) one non-periodic and any number of periodic directions. The user interface to shenfun is intentionally made very similar to FEniCS (fenicsproject.org). Partial Differential Equations are represented through weak variational forms and solved using efficient direct solvers where available. MPI decomposition is achieved through the {mpi4py-fft} module (bitbucket.org/mpi4py/mpi4py-fft), and all developed solver may, with no additional effort, be run on supercomputers using thousands of processors. Complete solvers are shown for the linear Poisson and biharmonic problems, as well as the nonlinear and time-dependent Ginzburg-Landau equation.

研究动机与目标

• 简化研究人员在简单几何结构中实现谱伽辽金方法的工作。
• 提供类似 FEniCS 的高级、用户友好的接口，但专为谱方法设计。
• 通过 MPI 和在超级计算机上优化的 FFT 实现 PDE 的高效、可扩展并行计算。
• 支持对复杂 PDE 的精确求解，例如带有去混叠的非线性时间依赖吉茨堡-朗道方程。
• 弥合谱方法中高层 Python 脚本与高性能计算之间的差距，避免底层语言的限制。

提出的方法

• 谱伽辽金方法通过弱变分形式实现，PDE 以类似 FEniCS 的语法表达。
• 使用基函数（例如切比雪夫、勒让德、傅里叶）并具有全局支撑和加权内积以处理弱形式。
• 该软件包使用 Numpy 进行向量化运算，并通过 mpi4py-fft 实现跨数千个处理器的 MPI 分解。
• 对非线性项应用填充谱变换（3/2 规则），以处理谱空间中的非线性项并防止混叠。
• 时间依赖问题采用四阶龙格-库塔时间积分器，通过填充变换计算去混叠的非线性项。
• 框架利用 pyFFTW 和 FFTW 实现高性能 FFT，其性能在 Python 中可与底层 C/Fortran 代码相媲美。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种高层级的 Python 接口，以自动化张量积区域上的谱伽辽金方法？
• RQ2 此类框架能否在超级计算机上实现与手工优化的低层代码相当的性能？
• RQ3 在使用谱方法求解时间依赖的非线性 PDE 时，去混叠技术的集成效率如何？
• RQ4 在使用不同 FFT 算法时，谱方法能否可靠地计算对称性保持的解？
• RQ5 在不牺牲计算效率的前提下，类似 FEniCS 的接口在多大程度上可适配谱方法？

主要发现

• Shenfun 使得使用极少代码即可实现 PDE 的谱伽辽金求解器，其代码形式与数学公式高度一致。
• 该框架成功求解了二维时间依赖的吉茨堡-朗道方程，实现了高精度和对称性保持。
• 通过 3/2 填充变换实现的去混叠对于保持解的对称性至关重要；若无此措施，对称性将因混叠而丢失。
• 当使用 Cython 和 FFTW 优化时，该代码的性能可与低层 C++ 或 Fortran 实现相媲美。
• 该框架已被用于在 spectralDNS 项目中实现纳维-斯托克斯求解器，在 Shaheen II 超级计算机上支持高达 2048³ 的网格规模。
• 不同的 FFTW 算法可能影响数值对称性，凸显了谱求解器对实现细节的高度敏感性。