[论文解读] Shift Radix Systems - A Survey

Peter Kirschenhofer, Jörg Μ. Thuswaldner|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

semigroups and automata theory参考文献 59被引用 7

一句话总结

本综述探讨了移位基数系统（SRS），即由带向下取整函数的整数值线性变换定义的动力系统，将其与β展开、规范数系以及Salem数和Pisot数上的周期展开相联系。主要贡献在于对SRS、密铺理论与丢番图逼近之间关系的全面综合，包括对SRS表现出有限性性质的参数表征，以及SRS分形的几何结构。

ABSTRACT

Let $d\ge 1$ be an integer and ${\bf r}=(r_0,\dots,r_{d-1}) \in \mathbf{R}^d$. The {\em shift radix system} $τ_\mathbf{r}: \mathbb{Z}^d o \mathbb{Z}^d$ is defined by $$ τ_{\bf r}({\bf z})=(z_1,\dots,z_{d-1},-\lfloor {\bf r} {\bf z} floor)^t \qquad ({\bf z}=(z_0,\dots,z_{d-1})^t). $$ $τ_\mathbf{r}$ has the {\em finiteness property} if each ${\bf z} \in \mathbb{Z}^d$ is eventually mapped to ${\bf 0}$ under iterations of $τ_\mathbf{r}$. In the present survey we summarize results on these nearly linear mappings. We discuss how these mappings are related to well-known numeration systems, to rotations with round-offs, and to a conjecture on periodic expansions w.r.t.\ Salem numbers. Moreover, we review the behavior of the orbits of points under iterations of $τ_\mathbf{r}$ with special emphasis on ultimately periodic orbits and on the finiteness property. We also describe a geometric theory related to shift radix systems.

研究动机与目标

• 统一并总结关于移位基数系统（SRS）及其与记数系统、动力系统和代数数论关系的已知结果。
• 研究SRS的有限性性质，即所有整数向量在迭代下是否最终映射到零。
• 探讨SRS分形的几何结构及其密铺性质，尤其与β-分形和自仿射分形的关系。
• 考察SRS在建模离散化旋转及Salem数上的周期展开中的作用，包括与Schmidt和Boyd猜想的联系。
• 介绍SRS的变体，如对称SRS和整数环上的SRS，并讨论高维中的开放问题。

提出的方法

• 将SRS定义为映射 τ_r: ℤ^d → ℤ^d，形式为 τ_r(z) = (z₁,…,z_{d-1}, -⌊rz⌋)^t，其中 r ∈ ℝ^d 且 z ∈ ℤ^d。
• 利用有限性性质表征所有τ_r轨道最终到达零的参数r。
• 通过与β变换及向后除法映射的共轭关系，将SRS与β展开和规范数系联系起来。
• 利用Schur-Cohn区域分析周期轨道，该区域表征与SRS参数r相关的压缩多项式。
• 应用密铺理论于SRS分形 T_r(x)，表明在特定条件下，族 {T_r(x) : x ∈ ℤ^d} 构成ℝ^d的弱密铺。
• 使用几何与代数工具，包括自仿射分形与仿射变换，将SRS分形与已知分形密铺（如孪生龙分形和Brunotte分形）联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些参数 r ∈ ℝ^d，移位基数系统 τ_r 具有有限性性质？
• RQ2 SRS与β展开及规范数系在动力共轭方面有何关系？
• RQ3 所有τ_r轨道最终周期的参数集合 𝒟_d 的结构是什么？
• RQ4 SRS分形如何与自仿射分形相关联？它们表现出何种密铺性质？
• RQ5 SRS与Salem数上的周期展开之间有何联系，特别是与Schmidt猜想的关系如何？

主要发现

• τ_r 具有有限性性质的参数集合，记为 𝒟_d^(0)，通过有限性性质表征，并包含于Schur-Cohn区域之内。
• 当 r = (1/2, 1) 时，τ_r 具有有限性性质，并诱导ℝ^2的一个密铺，该密铺是与多项式 X² + 2X + 2 相关的孪生龙分形的仿射像。
• 参数 r = (2/3, 1) 对应非首一多项式 2X² + 3X + 3，生成的密铺为Brunotte密铺，表明即使对于非首一多项式，SRS仍表现出密铺行为。
• 当 r = -2/3 时，SRS分形形成一族区间，其长度无限多种，满足 ℓ_k ∈ [(2/3)^k, 3(2/3)^k]（对于区间 T_r(N_k)），表明其密铺结构非均匀。
• 对称SRS变体（将 -⌊rz⌋ 替换为 -⌊rz + 1/2⌋）并不总产生弱密铺——Kalle与Steiner发现存在双重密铺的情况，表明其与标准SRS存在根本差异。
• Klaus Schmidt关于Salem数上周期展开的猜想与SRS相关：若该猜想成立，则意味着对任意β为Salem数且r由β导出的情形，ℚ(β)中所有元素均具有最终周期的τ_r展开。