[论文解读] Shifted bilinear sums of Salié sums and the distribution of modular square roots of shifted primes

Igor E. Shparlinski, Yixiu Xiao|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2026

Analytic Number Theory Research被引用 0

一句话总结

这篇论文为涉及大质数模下的移位Salié和式的移位双线性和导出非平凡上界，并利用它们研究移位素数的模平方根分布，给出到指数P的素数的渐近与不相容性界。

ABSTRACT

We establish various upper bounds on Type-I and Type-II shifted bilinear sums with Salié sums modulo a large prime $q$. We use these bounds to study, for fixed integers $a,b ot \equiv 0 \bmod q$, the distribution ofsolutions to the congruence $x^2 \equiv ap+b \bmod q$, over primes $p\le P$. This is similar to the recently studied case of $b = 0$, however the case $b ot \equiv 0 \bmod q$ exhibits some new difficulties.

研究动机与目标

• 动机与研究对大素数模下 Type-I 与 Type-II 移位双线性和的上界研究。
• 建立可分析 p 积分下 x^2 ≡ a p + b (mod q) 的解的分布的界。
• 将双线性和的界转化为移位素数的模平方根分布的结果。
• 探索整数域与素数域的两类和，包括平滑/加权变体与双曲区域限制。

提出的方法

• 定义 Salié 和 S(t; q) 并通过 S(t;q) = ε_q q^{1/2} sum_{x^2 ≡ t (mod q)} e_q(2x) 将其与二次同余联系起来。
• 利用指数和技术、泊松求和与魏尔(bounds)界来界定移位的 Type-I 与 Type-II 双线性和 W_{a,b,λ} 与 V_{a,b,λ}。
• 应用 Vaughan恒等式对素数和进行求和，在 P 的二进制区间内导出 S_{a,b,λ}(P) 的界。
• 利用放大、傅里叶/泊松分析和指数和界来控制双线性形式及其平滑变体（V、U、T 和和）。
• 通过 Erdős–Turán 型不等式推出关于分布偏差的推论 N_{a,b}(H,P) 的推论。
• 获得针对平滑/加权和及双曲域的特殊界，以处理移位素数的平方根问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 关于模 q 的移位 Salié 和式的非平凡上界是什么？
• RQ2 这些界如何转化为移位素数的模平方根分布，即 x^2 ≡ a p + b (mod q) 其中 p 为素数？
• RQ3 在哪些最佳区间 M、N、P 及相关参数下双线性上界仍保持非平凡？
• RQ4 平滑化、双曲域限制与素数和技术是否能给出 R_{a,b}(P)（移位素数平方根集合）在区间内的渐近或不相容性界？
• RQ5 结果是否扩展到带移位的 Type-I 和更广的平滑/谱变体，超出对角线情形？

主要发现

• 定理 2.1: U_{a,b,λ}(m,N) ≪ q^{1/2} log q 当 gcd(amλ,q)=1。
• 定理 2.2: V_{a,b,λ}(α; M, N) ≪ sqrt(||α||_1 ||α||_2) M^{1/12} N^{7/12} q^{1/4+o(1)}，在 M ≤ q、MN ≤ q^{3/2}、M ≤ N^2 时成立。
• 定理 2.3: 一个平滑变体 V_{a,b,λ}(α, φ; M, N)，其界依赖于 M、N、q 及平滑性参数；在 MN ≪ q 时适用。
• 定理 2.5: W_{a,b,λ}(α,β; M, N) ≪ ||α||_2 ||β||_∞ (M^{1/2} N^{1/2} + M^{1/2} N q^{-1/4} + N q^{1/4} (log q)^{1/2})。
• 定理 2.10 与 定理 2.11: 关于素数和 S_{a,b,λ}(P) 在不同 P 区间的界，包括 P^{13/18} q^{1/4}, P^{5/6} q^{1/8}, P^{2/3} q^{1/3}, P^{5/6} q^{1/12}, 以及 P q^{-1/4}，并在 q^{3/4} ≤ P ≤ q^{3/2} 时给出改进界 P^{7/9+o(1)} q^{1/6}。
• 推论 2.13: 基于同一 P 区间的 Erdős–Turán 型分布偏差界，用于 N_{a,b}(H,P)，在 q^{3/4+ε} 区间内给出非平凡界。