[论文解读] Shifted convolution of divisor function $d_3$ and Ramanujan $ au$ function

Ritabrata Munshi|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过 Voronoi 求和与改进的圆法（结合 Jutila 的方法），建立了涉及三重除数函数 $d_3(n)$ 与归一化 Ramanujan $ au$-函数的偏移卷积和的新混合上界。关键结果将 Pitt 的上界改进为 $\Psi( riangle, x) ackslashackslash_r x^{34/35 + \varepsilon}$（当 $r \ll x^{1/10}$ 时），并利用谱理论与特征和估计结合 Deligne 的上界实现。

ABSTRACT

We study the shifted convolution sum of the divisor function $d_3$ and the Ramanujan $ au$ function.

研究动机与目标

• 改进当前已知的偏移卷积和 $\Psi(f, x) = \sum_{n \leq x} d_3(n) \tau(rn - 1)$ 的上界，其中 $d_3(n)$ 为三重除数函数，$\tau(n)$ 为 Ramanujan $ au$-函数。
• 在更广范围的 $r \ll x^{1/10}$ 下，将 Pitt 的结果从 $x^{71/72 + \varepsilon}$ 推广至更强的 $x^{34/35 + \varepsilon}$ 上界，采用高级解析数论技术。
• 通过改进的圆法结合 Jutila 的逼近与 Voronoi 求和，建立光滑和 $D = \sum_n d_3(n) \tau_0(rn - 1) W(n/X)$ 的精确估计。

提出的方法

• 对 $\tau_0(n)$ 应用 Voronoi 求和公式，利用贝塞尔函数与 Kloosterman 和，将偏移卷积中的 $m$ 求和进行变换。
• 对 $d_3(n)$ 应用扭曲的 Voronoi 公式，将求和表达为包含三重除数结构的贝塞尔积分与特征和。
• 使用 Jutila 的圆法，以光滑逼近 $\tilde{I}_{Q,\delta}(x)$ 替代 $[0,1]$ 的特征函数，通过 $L^2$-估计实现误差控制。
• 通过将主项 $\tilde{D}$ 分解为零频与非零频部分进行估计，后者由特征和 $S^\dagger(m,n;q)$ 主导。
• 对 $n$-求和应用柯西-施瓦茨不等式与泊松求和，将求和转化为涉及 $T(m,n;q_1,\tilde{q}_1,q_2)$ 的混合指数和，再利用 Deligne 上界与 Weil 估计进行有界。
• 通过平衡误差项优化二元分解，选择 $Q_1 = rX^{1/10 + \delta}$，$Q_2 = X^{2/5}$，并取 $\delta = \frac{1}{35} - \frac{2}{7} \frac{\log r}{\log X}$ 以使误差项匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $r \ll x^{1/24}$ 条件下，将偏移卷积和 $\sum_{n \leq x} d_3(n) \tau(rn - 1)$ 的上界优于 Pitt 的 $x^{71/72 + \varepsilon}$？
• RQ2 在何种 $r$ 的最优范围内，可实现形式为 $x^{\kappa + \varepsilon}$（$\kappa < 1$）的非平凡上界？
• RQ3 如何结合 Voronoi 求和与特征和抵消，利用改进的圆法处理 $d_3$ 与 $\tau$ 的混合卷积？
• RQ4 能否通过平衡圆法逼近与光滑化带来的误差项，使最终上界的指数达到最优？

主要发现

• 本文建立了当 $r \ll x^{1/10}$ 时，$\Psi(\Delta, x) \ll_r x^{34/35 + \varepsilon}$ 的上界，优于 Pitt 的 $x^{71/72 + \varepsilon}$。
• 主项 $\tilde{D}$ 通过混合圆法估计，其中 $Q_1 = rX^{1/10 + \delta}$，$Q_2 = X^{2/5}$，实现误差项的最优平衡。
• 圆法逼近的误差被证明为 $O(x^{1 - \delta + \varepsilon})$，当 $H = x^\delta$ 时，与光滑化误差 $O(x^{1+\varepsilon}/H)$ 匹配，从而得到 $\delta = \frac{1}{35} - \frac{2}{7} \frac{\log r}{\log X}$。
• 特征和 $T(m,n;q_1,\tilde{q}_1,q_2)$ 利用 Deligne 上界与 Weil 估计进行有界，当 $q_1 \neq \tilde{q}_1$ 时，有 $\ll q_1^{3/2} \tilde{q}_1^{3/2} q_2^{5/2} (n,q_2)^{1/2}$；当 $q_1 = \tilde{q}_1$ 时，有 $\ll q_1^{5/2} q_2^{5/2} \sqrt{(n',q_1q_2)}$。
• 最终上界 $\tilde{D}_1(\alpha) \ll \sqrt{N} Q_2 M / Q^5 \cdot (\sqrt{H} Q_1^{5/4} Q_2^{5/4} + \sqrt{N} Q_2) \sqrt{H} X^{1+\varepsilon}$ 在 $Q_2 = X^{2/5}$，$Q_1 = rX^{1/10 + \delta}$ 时最小化，从而得到所述指数。
• 该结果对 $r \ll x^{4/5}$ 一致成立，且在所选参数下，非互素 $n$-项的误差被证明可接受。