[论文解读] Shifted critical threshold in the loop $O(n)$ model at arbitrary small $n$

Lorenzo Taggi|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用 5

一句话总结

该论文证明，在 $\mathbb{Z}^d$（$d \geq 2$）和六边形晶格上的环 $O(n)$ 模型中，当 $n > 0$ 时，即使 $n$ 极其微小，临界阈值 $\lambda_c(n)$ 严格大于 $1/\mu$，这是由于环之间的相互排斥作用所致。论文证明了 $\lambda_c(n) \geq 1/\mu + c_0 n + O(n^2)$，其中 $c_0 > 0$，表明与 $n=0$ 时的自避行走相比，相变发生的位置发生了偏移。

ABSTRACT

In the loop $O(n)$ model a collection of mutually-disjoint self-avoiding loops is drawn at random on a finite domain of a lattice with probability proportional to $${λ^{\# \mbox{edges}} n^{\# \mbox{loops}},}$$ where $λ, n \in [0, \infty)$. Let $μ$ be the connective constant of the lattice and, for any $n \in [0, \infty)$, let $λ_c(n)$ be the largest value of $λ$ such that the loop length admits uniformly bounded exponential moments. It is not difficult to prove that $λ_c(n) =1/μ$ when $n=0$ (in this case the model corresponds to the self-avoiding walk) and that for any $n \geq 0$, $λ_c(n) \geq 1/μ$. In this note we prove that, \begin{align*} λ_c(n) & > 1/μ\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \mbox{whenever $n >0$}, \\ λ_c(n) & \geq 1/μ\, + \, c_0 \, n \, + \, O(n^2), \end{align*} on $\mathbb{Z}^d$, with $d \geq 2$, and on the hexagonal lattice, where $c_0>0$. This means that, when $n$ is positive (even arbitrarily small), as a consequence of the mutual repulsion between the loops, a phase transition can only occur at a strictly larger critical threshold than in the self-avoiding walk.

研究动机与目标

• 确定在 $n > 0$ 时，环 $O(n)$ 模型中的临界阈值 $\lambda_c(n)$ 是否超过 $1/\mu$，即使 $n$ 极其微小。
• 分析环之间相互排斥作用如何影响该模型的相变行为，与自避行走（$n=0$）进行比较。
• 通过概率和组合方法，严格建立 $\lambda_c(n)$ 的下界，使其对小的正数 $n$ 严格大于 $1/\mu$。
• 将环 $O(n)$ 模型在 $\mathbb{Z}^d$ 和六边形晶格上的相图理解扩展至已知的 $n=0$ 或大 $n$ 的结果之外。

提出的方法

• 使用通过权重 $\lambda^{o_G(\kappa)} n^{L_G(\kappa)} / Z_{\lambda,n}(G)$ 定义的环 $O(n)$ 模型测度，其中 $\kappa$ 是有限子图 $G$ 上的环构型。
• 应用凯斯滕的图案定理，控制具有给定非回溯步长密度的自避多边形的数量。
• 将环构型分解为非回溯步长密度高和低的两类，分别使用 $SAP_x(N,a'N,P')$ 表示高密度情况，$SAP_x(N) \setminus SAP_x(N,a'N,P')$ 表示低密度情况。
• 通过结合凯斯滕定理的指数衰减估计和一个新的基于比值 $Z_{\lambda,n}(G \setminus \mathcal{P}) / Z_{\lambda,n}(G)$ 的界，推导出原点属于长度超过 $\ell$ 的环的概率的上界。
• 对临界阈值方程 $\lambda \mu = (1 + \lambda^4 n)^{a'}$ 在 $n=0$ 附近进行泰勒展开，以推导出 $\lambda_c(n)$ 下界中的线性项 $c_0 n$。
• 通过证明 $\lambda_1(n) > 1/\mu$ 并结合凯斯滕定理得到的第二个阈值 $\lambda_1'$，证明了对所有 $n > 0$ 都有 $\lambda_c(n) > 1/\mu$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在环 $O(n)$ 模型中，临界阈值 $\lambda_c(n)$ 是否在 $n > 0$ 时，即使 $n$ 极其微小，也超过 $1/\mu$？
• RQ2 环 $O(n)$ 模型中环之间的相互排斥作用如何影响相变行为，与自避行走（$n=0$）相比？
• RQ3 能否对小的 $n > 0$ 严格建立形如 $\lambda_c(n) \geq 1/\mu + c_0 n + O(n^2)$ 的定量下界？
• RQ4 环的密度和非回溯结构在控制环长度概率的指数衰减中起什么作用？

主要发现

• 临界阈值 $\lambda_c(n)$ 满足对所有 $n > 0$ 都有 $\lambda_c(n) > 1/\mu$，证明了与自避行走（$n=0$）相比，相变发生的位置发生了严格偏移。
• 对小的 $n > 0$，建立了下界 $\lambda_c(n) \geq 1/\mu + \frac{a'}{\mu^5} n + O(n^2)$，其中 $a' > 0$，其值取决于晶格类型和参数选择。
• 临界阈值的偏移源于环-环排斥作用，该作用抑制了长环的形成，从而延迟了宏观环的出现。
• 证明依赖于将环构型分解为高密度和低密度的非回溯段，并对每一类分别应用不同的界。
• 利用凯斯滕的图案定理和一个新的配分函数比值界，能够控制在小 $n > 0$ 条件下长环出现的概率。
• 该结果在 $\mathbb{Z}^d$（$d \geq 2$）和六边形晶格上均成立，证实了对小 $n > 0$ 时临界阈值偏移的普遍性。