[论文解读] Shifted Jacobi polynomials and Delannoy numbers

Gábor Hetyei|ArXiv.org|Sep 30, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文建立了移位雅可比多项式与加权格路之间的组合联系，表明加权德兰诺伊数——广义化的中心德兰诺伊数——可通过对参数为$(\alpha, 0)$的移位雅可比多项式表达。一个关键结果将经典恒等式$d_{n,n} = P_n(3)$推广至所有整数$\alpha \geq -n$的情形，得到$d_{n+\alpha,n} = P_n^{(\alpha,0)}(3)$，并利用此结果为具有非负整数参数的雅可比多项式的正交性提供了新的组合证明，将其与车多项式理论联系起来。

ABSTRACT

We express a weighted generalization of the Delannoy numbers in terms of shifted Jacobi polynomials. A specialization of our formulas extends a relation between the central Delannoy numbers and Legendre polynomials, observed over 50 years ago, to all Delannoy numbers and certain Jacobi polynomials. Another specialization provides a weighted lattice path enumeration model for shifted Jacobi polynomials, we use this to present a new combinatorial proof of the orthogonality of Jacobi polynomials with natural number parameters. The proof relates the orthogonality of these polynomials to the orthogonality of (generalized) Laguerre polynomials, as they arise in the theory of rook polynomials. We provide a combinatorial proof for the orthogonality of certain Romanovski-Jacobi polynomials with zero first parameter and negative integer second parameter, considered as an initial segment of the list of similarly transformed Jacobi polynomials with the same parameters. We observe that for an odd second parameter one more polynomial may be added to this finite orthogonal polynomial sequence than what was predicted by a classical result of Askey and Romanovski. The remaining transformed Jacobi polynomials in the sequence are either equal to the already listed Romanovski-Jacobi polynomials or monomial multiples of similarly transformed Jacobi polynomials with a positive second parameter. We provide expressions for an analogous weighted generalization of the Schröder numbers in terms of the Jacobi polynomials, and use this model, together with a result of Mansour and Sun, to express the Narayana polynomials in terms of shifted Jacobi polynomials.

研究动机与目标

• 将经典恒等式$d_{n,n} = P_n(3)$推广至使用移位雅可比多项式的所有德兰诺伊数，该恒等式关联中心德兰诺伊数与勒让德多项式。
• 开发一种加权格路计数模型，为具有非负整数参数的移位雅可比多项式提供组合解释。
• 通过格路权重与车多项式理论，建立雅可比多项式$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$在$\alpha, \beta \in \mathbb{N}$时正交性的新组合证明。
• 分析具有负参数的雅可比多项式结构，特别是$P_n^{(0,-\beta)}(x)$，并证明当$\beta$为奇数时，正交序列可超越经典Askey-Romanovski界限。
• 将模型扩展至施罗德路径，并利用其将Narayana多项式通过Mansour与Sun的结果用移位雅可比多项式表示。

提出的方法

• 引入一种用于德兰诺伊路径的加权格路模型，其中向东、向北和东北方向的步长分别赋予权重$u$、$v$和$w$，推广Fray与Roselle的框架。
• 将从$(0,0)$到$(m,n)$的德兰诺伊路径的总权重表示为对移位雅可比多项式$P_n^{(\alpha,0)}(x)$的代入，其中$x = 2x - 1$。
• 利用格路模型，通过将加权积分约化为已知的车多项式恒等式，推导出$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$在$\alpha, \beta \in \mathbb{N}$时的正交性组合证明。
• 分析序列$\{P_n^{(0,-\beta)}(x)\}_{n \geq 0}$，并证明前$\lfloor(\beta-1)/2\rfloor$项构成一个对称正交序列，且当$\beta$为奇数时可额外扩展一项。
• 将模型扩展至施罗德路径，定义施罗德数的加权推广，并通过在$x=3$处代入与雅可比多项式关联。
• 结合所得公式与Mansour与Sun的结果，将Narayana多项式表示为移位雅可比多项式的线性组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典恒等式$d_{n,n} = P_n(3)$能否通过雅可比多项式推广至中心德兰诺伊数之外的情形？
• RQ2 能否使用具有组合意义的权重（而非仅形式参数）的格路模型，证明具有非负整数参数的雅可比多项式的正交性？
• RQ3 对于负整数$\beta$的雅可比多项式$P_n^{(0,-\beta)}(x)$是否构成有限正交序列？该序列能否超越经典Askey-Romanovski界限？
• RQ4 是否存在加权施罗德数的组合解释，使其与雅可比多项式相关联？该关联能否用于表示其他组合多项式（如Narayana多项式）？
• RQ5 能否深化加权格路与车多项式之间的联系，以直接获得正交多项式恒等式的组合解释？

主要发现

• 恒等式$d_{n,n} = P_n(3)$被推广至所有整数$\alpha \geq -n$的情形，得到$d_{n+\alpha,n} = P_n^{(\alpha,0)}(3)$，表明德兰诺伊数与雅可比多项式之间存在系统性关联。
• 通过一种加权格路模型，为$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$在$\alpha, \beta \in \mathbb{N}$时的正交性提供了新的组合证明，其中参数$\alpha$与$\beta$实际计数路径特征。
• 对于$P_n^{(0,-\beta)}(x)$，前$\lfloor(\beta-1)/2\rfloor$项构成对称正交序列；当$\beta$为奇数时，该序列可额外扩展一项，与经典Askey-Romanovski预测相矛盾。
• 序列中$n \geq \beta$的其余多项式为$P_n^{(0,\beta)}(x)$的单项式倍数，表明负参数与正参数之间存在对偶性。
• 施罗德数的加权推广被表示为在$x=3$处代入雅可比多项式，由此导出移位勒让德多项式迭代反导数的公式。
• 结合Mansour与Sun的结果，Narayana多项式被表示为移位雅可比多项式的线性组合，建立了新的代数-组合联系。