[论文解读] Shifted Schur functions II. Binomial formula for characters of classical groups and applications

Andreĭ Okounkov, Grigori Olshanski|ArXiv.org|Dec 17, 1996

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用 31

一句话总结

本论文通过移位施瓦茨函数，为经典李群（正交群与辛群）的特征标建立了一个二项式公式，引入了普遍包络代数中心中的典范基及其对应的对称代数版本，通过一个G-等变特殊对称化映射实现。关键贡献在于：以移位施瓦茨多项式为基展开特征标的泰勒型展开式，其特征值由阶乘施瓦茨函数给出；并证明了在GL(2n,C)中某些双陪集上的球函数与平方变量的施瓦茨多项式成比例。

ABSTRACT

Let G be any of the complex classical groups GL(n), SO(2n+1), Sp(2n), O(2n), let g denote the Lie algebra of G, and let Z(g) denote the subalgebra of G-invariants in the universal enveloping algebra U(g). We derive a Taylor-type expansion for finite-dimensional characters of G (binomial formula) and use it to specify a distinguished linear basis in Z(g). The eigenvalues of the basis elements in highest weight g-modules are certain shifted (or factorial) analogs of Schur functions. We also study an associated homogeneous basis in I(g), the subalgebra of G-invariants in the symmetric algebra S(g). Finally, we show that the both bases are related by a G-equivariant linear isomorphism σ: I(g) o Z(g), called the special symmetrization.

研究动机与目标

• 将GL(n)特征标的二项式公式推广至经典群SO(2n+1)、Sp(2n)与O(2n)。
• 为经典李代数g的普遍包络代数U(g)的中心Z(g)构造一个典范基。
• 在不变子代数I(g) ⊂ S(g)中定义一个齐次基，并通过一个G-等变同构将其与Z(g)关联。
• 建立一个特殊对称化映射σ: I(g) → Z(g)，其保持首项且将基元素Tμ映射至Tμ*。
• 证明GL(2n,C)中(G2, G1)-双陪集上的某些球函数与x_i^4的施瓦茨多项式成比例。

提出的方法

• 在单位元附近推导特征标χλ(z)的泰勒型展开，表示为移位施瓦茨函数t*μ(λ)与齐次分量tμ(x)的和。
• 定义Vλ中基元素Tμ* ∈ Z(g)的特征值t*μ(λ)，其特征值在λ ≠ μ且|λ| ≤ |μ|时为零。
• 将t*μ(λ)的最高次分量tμ(x)识别为施瓦茨多项式sμ(x²₁,…,x²ₙ)。
• 通过自然同构gr Z(g) ≅ I(g)，将{ Tμ* }的伴随分量格映射构造I(g)中的齐次基{Tμ}。
• 将特殊对称化σ: S(g) → U(g)定义为一个G-等变线性同构，其将Tμ映射至Tμ*，并保持首项。
• 利用[O2]中的显式公式，将Tμ* = σ(Tμ)表示为g的生成元的表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单位元附近将SO(2n+1,C)、Sp(2n,C)或O(2n,C)的有限维表示的特征标展开为泰勒型级数？
• RQ2 经典李代数的普遍包络代数中心Z(g)中的典范基是什么？其特征是什么？
• RQ3 不变子代数I(g) ⊂ S(g)中的齐次基与Z(g)中的基有何关系？
• RQ4 G-等变同构σ: I(g) → Z(g)的本质是什么？其与特殊对称化的关系如何？
• RQ5 GL(2n,C)中(G2, G1)-双陪集上的球函数是否与施瓦茨多项式相关？

主要发现

• 特征标χλ(z)具有二项式展开形式：χλ(z)/χλ(1) = ∑μ t*μ(λ) tμ(x) / c±(n,μ)，其中x_i = z_i^{1/2} - z_i^{-1/2}。
• Tμ* ∈ Z(g)在Vλ中的特征值由移位施瓦茨函数t*μ(λ)给出，其在λ ≥ μ（按支配序）时非零。
• t*μ(λ)的最高次分量为施瓦茨多项式sμ(x²₁,…,x²ₙ)。
• 特殊对称化σ: I(g) → Z(g)是一个G-等变同构，将齐次基Tμ映射至典范基Tμ*。
• 球函数φμ(g) = ⟨V_{2μ∪2μ|2n}(g)ξ, η*⟩在双陪集的适当参数化下与施瓦茨多项式sμ(x₁⁴,…,xₙ⁴)成比例。
• 在对称矩阵（与sp(2n,C)*等同）上的双球函数ψμ与I(sp(2n,C))中的基元素Tμ成比例。