[论文解读] Shimura Varieties and Moduli

J. S. Milne|arXiv (Cornell University)|May 4, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 60被引用 29

一句话总结

本文確立了連通的希爾伯特-紹爾簇——即赫米特對稱域關於同餘子群的商——可被實現為具有附加結構的阿貝爾簇或動機的模空間的條件。在少數情況下，這些簇是具有極化、自同態與階結構（PEL）的阿貝爾簇的模空間；在更廣泛的類別中，它們參數化具有極化、霍奇類與階結構（PHL）的阿貝爾簇；而在除例外類型（E6、E7以及某些D型）外的所有情況下，它們分類具有附加結構的阿貝爾動機。關鍵結果是對具有幾何模解釋的希爾伯特-紹爾簇的完整分類。

ABSTRACT

Connected Shimura varieties are the quotients of hermitian symmetric domains by discrete groups defined by congruence conditions. We examine their relation with moduli varieties. (Handbook of Moduli).

研究动机与目标

• 確定哪些連通希爾伯特-紹爾簇可被實現為阿貝爾簇或動機的模空間。
• 透過霍奇理論與算術群，釐清赫米特對稱域、週期域與模空間之間的關係。
• 根據其Dynkin型與相關代數群，對具有幾何模解釋的希爾伯特-紹爾簇進行分類。
• 確立作為模空間的希爾伯特-紹爾簇在其反射域上的規範模型的存在性。
• 提供理論的完整、自包含的處理，包含完整證明，以解決文獻中的模糊之處。

提出的方法

• 使用赫米特對稱域的理論，將其視為與實半單群（中心為平凡）及其從圓群到該群的特定同態相關的李群的商。
• 應用Baily-Borel定理，證明局部對稱簇及其緊化形式的代數性。
• 運用Mumford-Tate群與霍奇結構的變換來分類希爾伯特-紹爾簇上的霍奇理論數據。
• 應用Deligne關於絕對霍奇類的定理，證明所有阿貝爾簇上的霍奇類皆為代數類，進而可定義阿貝爾動機。
• 利用Satake與Deligne對辛嵌入的分類，將赫米特對稱域嵌入到Siegel上半空間中。
• 透過阿貝爾動機的普遍族構造模空間映射，並使用下降與覆蓋論證證明其正則性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，連通希爾伯特-紹爾簇是具有附加結構的阿貝爾簇的細模空間？
• RQ2 哪些希爾伯特-紹爾簇能透過具有極化、霍奇類與階結構的阿貝爾動機獲得幾何模解釋？
• RQ3 其李群的導出子群與中心的結構如何影響希爾伯特-紹爾簇的模實現？
• RQ4 在特殊點處，能否透過互反律唯一地特徵化希爾伯特-紹爾簇在其反射域上的規範模型？
• RQ5 在不依賴解析均勻化的情況下，希爾伯特-紹爾簇的模解釋能在多大程度上以代數方式定義？

主要发现

• 在有限多種情況下，連通希爾伯特-紹爾簇是具有極化、自同態與階結構（PEL）的阿貝爾簇的模空間。
• 更廣泛的一類希爾伯特-紹爾簇參數化具有極化、霍奇類與階結構（PHL）的阿貝爾簇。
• 除E6、E7型及某些D型外，所有連通希爾伯特-紹爾簇皆為具有附加結構的阿貝爾動機的模空間。
• 當群的中心在其實點中離散時，希爾伯特-紹爾簇會擁有阿貝爾動機的普遍族，使其成為細模空間。
• 在特殊點處，希爾伯特-紹爾簇在其反射域上的規範模型由Shimura的互反律唯一決定。
• 對所有希爾伯特-紹爾簇，即使尚未知其幾何模解釋，亦可透過嵌入至具有A1型子簇的更大簇中，構造出規範模型。