[论文解读] Shimura varieties with $Γ_1(p)$-level via Hecke algebra isomorphisms: the Drinfeld case

Thomas J. Haines, Michael Rapoport|arXiv (Cornell University)|May 14, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文利用Hecke代数同构，确定了在$ p $处具有$\Gamma_1(p)$-水平结构的Drinfeld型Shimura簇的邻近上同调的半单Lefschetz数的测试函数。证明了这些测试函数在Hecke代数中是中心的，并通过仿射单体行走描述和Bernstein函数的支集显式计算了它们，表明它们恰好位于允许集$\mathrm{Adm}(\mu)$中。

ABSTRACT

We study the local factor at p of the semi-simple zeta function of a Shimura variety of Drinfeld type for a level structure given at p by the pro-unipotent radical of an Iwahori subgroup. Our method is an adaptation to this case of the Langlands-Kottwitz counting method. We use Hecke algebra isomorphisms to determine the test functions at p.

研究动机与目标

• 确定与$ p $处具有$\Gamma_1(p)$-水平结构的Drinfeld型Shimura簇的邻近上同调相关的Hecke代数中的测试函数。
• 通过Hecke代数同构，建立这些测试函数在Hecke代数$\mathcal{H}(G(L_r), K_{p^r})$中的中心性。
• 利用Bernstein函数和仿射单体行走描述，显式计算测试函数。
• 证明测试函数$ z_\mu $的支集恰好是允许集$\mathrm{Adm}(\mu)$。

提出的方法

• 将Langlands-Kottwitz计数方法适配到具有$\Gamma_1(p)$-水平结构的Drinfeld情形。
• 利用Goldstein、Morris和Roche的Hecke代数同构，分析测试函数在这些同构下的像。
• 应用A. Ram的仿射单体行走理论（从对偶Weyl锥$\overline{\mathcal{C}}$出发的定向）来描述Bernstein函数$\Theta^\mathcal{C}_\lambda$。
• 通过$ t_\lambda = s_{i_1} \cdots s_{i_k} \tau $的约化表达式，将Bernstein函数$ z_\mu $表示为$ \lambda \in W\mu $的$ \Theta^\mathcal{C}_\lambda $之和。
• 根据仿射根超平面的相对单体位置，确定符号$ \varepsilon_\nu = \pm 1 $，以定义$ \Theta^\mathcal{C}_\lambda $的仿射单体行走。
• 通过仿射单体行走描述证明$ z_\mu $的支集包含于$\mathrm{Adm}(\mu)$，并通过非负系数线性组合中的无抵消性证明等式成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$ p $处具有$\Gamma_1(p)$-水平结构的Drinfeld型Shimura簇的Hecke代数$\mathcal{H}(G(L_r), K_{p^r})$中，测试函数$\phi_r = \phi_r(R\Psi)$的显式形式是什么？
• RQ2 为何该测试函数在Hecke代数中是中心的？其中心性如何通过Hecke代数同构建立？
• RQ3 Bernstein函数$\Theta^\mathcal{C}_\lambda$的仿射单体行走描述如何影响$ z_\mu $的结构？
• RQ4 Bernstein函数$ z_\mu $的精确支集是什么？它与允许集$\mathrm{Adm}(\mu)$有何关系？
• RQ5 测试函数$\phi_r $能否表示为$ \lambda \in W\mu $上$ \Theta^\mathcal{C}_\lambda $的和？该表达式是否为无抵消形式？

主要发现

• 通过Hecke代数同构，证明了具有$\Gamma_1(p)$-水平结构的Drinfeld型Shimura簇的邻近上同调的测试函数$\phi_r$在Hecke代数$\mathcal{H}(G(L_r), K_{p^r})$中是中心的。
• 该测试函数被识别为与对偶最小单特征标$\mu^*$相关的Bernstein函数$z_{\mu^*}$，其位于Hecke代数的中心。
• 证明了Bernstein函数$ z_\mu $的支集恰好是允许集$\mathrm{Adm}(\mu)$，且在$ \lambda \in W\mu $上的求和无抵消。
• 使用$ t_\lambda $的约化表达式进行的仿射单体行走描述，为$ \Theta^\mathcal{C}_\lambda $提供了具体的实现，其和以非负系数给出$ z_\mu $。
• 通过关系$ T_v \Theta_\lambda T_v^{-1} = \Theta^{\mathcal{C}}_{v\lambda} $确立了$ z_\mu^\mathcal{C} = T_v^{-1} z_\mu T_v = z_\mu $，从而确认其不变性，证明了$ z_\mu $的中心性。
• 该构造证实了测试函数$\phi_r$与Weyl锥的选择无关，且作为Hecke代数中心的元素是良定义的。