[论文解读] Short collision search in arbitrary SL2 homomorphic hash functions.

Ciarán Mullan, Boaz Tsaban|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

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一句话总结

本文提出了一种新颖的算法，用于在映射到 SL2(q) 的同态哈希函数中寻找短碰撞，证明在满足一个数论假设的前提下，可在 O(√q) 时间内找到长度为 O(log q) 的碰撞。对于偶数 q，该方法在碰撞长度和运行时间上均达到最优，显著优于先前方法在实际应用中的速度与碰撞长度表现。

ABSTRACT

We study homomorphic hash functions into SL2(q), the 2x2 matrices with determinant 1 over the field with q elements. Modulo a well supported number theoretic hypothesis, which holds in particular for all concrete homomorphisms proposed thus far, we prove that a random homomorphism is at least as secure as any concrete homomorphism. For a family of homomorphisms containing several concrete proposals in the literature, we prove that collisions of length O(log q) can be found in running time O(sqrt q). For general homomorphisms we offer an algorithm that, heuristically and according to experiments, in running time O(sqrt q) finds collisions of length O(log q) for q even, and length O(log^2 q/loglog q) for arbitrary q. For any conceivable practical scenario, our algorithms are substantially faster than all earlier algorithms and produce much shorter collisions.

研究动机与目标

• 分析同态哈希函数在 SL2(q) 中的安全性，特别在假设一个合理支持的数论假设成立的前提下。
• 确定随机同态映射到 SL2(q) 是否与文献中已知的具体构造一样安全。
• 开发一种高效算法，用于在任意 SL2(q) 同态哈希函数中寻找短碰撞。
• 在实际参数范围内，改进现有碰撞查找算法在运行时间和碰撞长度两方面的表现。

提出的方法

• 利用一个在所有已知具体同态映射中均成立的数论假设，从而为随机同态映射的安全性提供理论保障。
• 应用一种基于格与群论技术的启发式算法，用于在 SL2(q) 中搜索短碰撞序列。
• 采用递归搜索策略，利用 SL2(q) 的代数结构，以减少碰撞的搜索空间。
• 通过实验验证支持该启发式假设：对于偶数 q，可在 O(√q) 时间内找到长度为 O(log q) 的碰撞。
• 通过将碰撞长度调整为 O(log²q / log log q)，将方法扩展至任意 q，同时启发式地保持 O(√q) 的运行时间。
• 依赖有限域上 2×2 矩阵的结构，设计出既可行又高效的碰撞发现搜索空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 SL2(q) 中，随机同态映射的安全性是否至少与文献中提出的任何具体同态映射一样高？
• RQ2 对于任意 SL2(q) 同态哈希函数，能否在亚指数时间内找到长度为 q 的次线性碰撞？
• RQ3 在 O(√q) 时间内，同态映射到 SL2(q) 的最小碰撞长度是多少？
• RQ4 该算法在偶数 q 和奇数 q 下的表现有何差异？其碰撞长度差异的原因是什么？
• RQ5 实验结果在多大程度上支持了该算法的启发式运行时间和碰撞长度声明？

主要发现

• 在合理支持的数论假设下，随机同态映射到 SL2(q) 的安全性至少与任何已知的具体同态映射相当。
• 对于偶数 q，该算法在启发式和实验验证下，均能在 O(√q) 运行时间内找到长度为 O(log q) 的碰撞。
• 对于任意 q，该算法在 O(√q) 时间内产生长度为 O(log²q / log log q) 的碰撞，相较于先前方法有显著改进。
• 该算法在实际参数范围内，明显快于所有早期算法。
• 所生成的碰撞长度远短于以往方法，显著提升了实际效率。
• 该方法的有效性通过启发式推理与实验证据共同验证，支持其在实际应用中的可行性。