[论文解读] Short-time existence of the Ricci flow on complete, non-collapsed $3$-manifolds with Ricci curvature bounded from below

Raphaël Hochard|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 17

一句话总结

本文在完整且非紧致的三维流形上建立了 Ricci 流的短时存在性，其 Ricci 曲率下确界一致，单位球体积下确界一致。通过一种新颖的“部分 Ricci 流”构造，作者避开了初始时刻有界截面曲率的需求，证明了存在时间区间 $[0, ϵ_0^2]$ 的统一存在性，该区间仅依赖于体积下确界，从而解决了关于此类流形 Gromov-Hausdorff 极限的一个猜想。

ABSTRACT

We prove that for any complete three-manifold with a lower Ricci curvature bound and a lower bound on the volume of balls of radius one, a solution to the Ricci flow exists for short time. Actually our proof also yields a (non-canonical) way to flow and regularize some interior region of a non-complete initial data satisfying the aformentioned bounds.

研究动机与目标

• 在不需初始时刻有界截面曲率的条件下，建立完整且非紧致三维流形上 Ricci 流的短时存在性。
• 在 Ricci 曲率与体积下确界条件下，将紧致流形上的统一存在时间与几何估计推广至完整非紧致三维流形。
• 解决 Anderson、Cheeger、Colding 与 Tian 关于具有统一有界 Ricci 曲率与体积曲率的三维流形 Gromov-Hausdorff 极限的光滑结构的猜想。
• 提出一种适用于非完整或无界曲率初始数据的一般性“部分 Ricci 流”构造。
• 为满足曲率与体积界但非完整的初始度量的内部区域提供一种非典范正则化方法。

提出的方法

• 引入一种‘部分 Ricci 流’构造，以受控方式演化非完整初始度量，避免全局完备性假设。
• 使用截断函数与含时间依赖势能的修改版 Ricci 流方程，实现演化局部化并控制曲率增长。
• 应用最大值原理论证，控制 Ricci 张量的演化，并确保其在下确界 Ricci 曲率约束下保持夹紧。
• 建立统一的存在时间界 $\epsilon_0^2$，其仅依赖于体积下确界 $v_0$，与初始时刻曲率增长无关。
• 利用 Perelman 的伪局部性与有界曲率流的经典曲率估计，控制局部球内流的演化。
• 利用度量引理控制距离与体积的演化，确保流在内部区域保持良好行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅对 Ricci 曲率与单位球体积施加下确界、且不需初始时刻有界截面曲率的完整三维流形上，Ricci 流的短时存在性是否成立？
• RQ2 能否在满足曲率与体积界的一类完整非紧致三维流形上，建立统一的存在时间与几何估计，类似于紧致流形上已知的结果？
• RQ3 具有统一有界下确界 Ricci 曲率与单位球体积的三维流形序列的 Gromov-Hausdorff 极限是否同胚于光滑流形？此猜想由 Anderson、Cheeger、Colding 与 Tian 提出。
• RQ4 能否为满足 Ricci 与体积界但非完整的初始数据构造一种非典范、局部化的 Ricci 流，从而有效正则化其内部区域？
• RQ5 在不依赖曲率增长的前提下，Ricci 流的存在时间最优下确界应如何用体积下确界 $v_0$ 表达？

主要发现

• 对任意满足 $\mathrm{Rc} \geq -1$ 且对所有 $x$ 有 $\mathrm{vol}(B(x,1)) \geq v_0$ 的完整三维流形，Ricci 流在时间区间 $[0, \epsilon_0^2]$ 上存在解，其中 $\epsilon_0$ 仅依赖于 $v_0$。
• 存在时间 $\epsilon_0^2$ 在所有此类流形上一致，与初始时刻曲率增长无关。
• 在所有 $t \in (0, \epsilon_0^2]$ 上，Ricci 曲率保持下界 $-k(v_0)$，且单位球体积均匀下界为 $v_0/2$。
• Riemann 曲率张量满足 $|\mathrm{Rm}| \leq K / t$，其中 $K$ 仅依赖于 $v_0$，且在时间上一致成立。
• 部分 Ricci 流构造允许对满足相同界条件的非完整初始度量的内部区域进行正则化。
• 该结果证实了猜想：此类三维流形的 Gromov-Hausdorff 极限同胚于光滑流形。