[论文解读] Shortest path and maximum flow problems in planar flow networks with additive gains and losses

Saber Mirzaei, A. J. Kfoury|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Advanced Graph Theory Research被引用 3

一句话总结

本文证明了在平面加法流网络（其中边具有加法增益或损失）中，最短路径问题和最大流问题均为强 NP-难问题。尽管图的平面结构通常能支持多项式时间解法，但加法增益/损失的存在破坏了标准流性质，使得这些基础网络问题即使在输入值有界的情况下也具有计算不可解性。

ABSTRACT

In contrast to traditional flow networks, in additive flow networks, to every edge e is assigned a gain factor g(e) which represents the loss or gain of the flow while using edge e. Hence, if a flow f(e) enters the edge e and f(e) is less than the designated capacity of e, then f(e) + g(e) = 0 units of flow reach the end point of e, provided e is used, i.e., provided f(e) != 0. In this report we study the maximum flow problem in additive flow networks, which we prove to be NP-hard even when the underlying graphs of additive flow networks are planar. We also investigate the shortest path problem, when to every edge e is assigned a cost value for every unit flow entering edge e, which we show to be NP-hard in the strong sense even when the additive flow networks are planar.

研究动机与目标

• 研究具有平面底图的加法流网络中，最短路径与最大流问题的计算复杂性。
• 确定网络结构的平面性是否能为这些问题提供多项式时间解法。
• 将先前在一般图上获得的 NP-难性结果，扩展至更受限制的平面图情形。
• 探讨加法增益与损失对经典网络流性质（如流守恒与对偶性）的影响。
• 为未来在近似算法与固定参数可追踪算法方面的研究奠定基础。

提出的方法

• 通过从 3-SAT 问题归约，构造一个平面加法流网络，使得可行流对应于一个满足赋值。
• 设计变量与文字门电路，以在流网络结构中编码逻辑变量与逻辑子句。
• 利用边容量、增益因子与代价函数，建模逻辑约束与流行为。
• 构建反向流网络，以关联流入最大化与流出最大化问题。
• 通过多项式有界输入值，形式化证明问题在强意义下的 NP-难性。
• 利用平面图的结构特性与加法增益/损失的性质，说明标准算法失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面加法流网络中的最短路径问题是否在强意义下为 NP-难？
• RQ2 平面加法流网络中的最大流入或流出问题是否在强意义下为 NP-难？
• RQ3 标准的最大流/最小割对偶性或增广路径方法能否应用于加法流网络？
• RQ4 加法增益与损失是否破坏最短路径问题中子路径最优性的成立？
• RQ5 能否为这些问题设计近似算法或固定参数可追踪算法？

主要发现

• 即使所有边的代价、增益与容量均以输入规模的多项式为界，平面加法流网络中的最短路径问题在强意义下仍为 NP-难。
• 通过平面构造的 3-SAT 归约，证明了平面加法流网络中的最大流入问题在强意义下为 NP-难。
• 通过反向流网络的对偶性论证，确立了最大流出问题在强意义下也为 NP-难。
• 加法增益与损失的存在破坏了经典性质，如流守恒、子路径最优性以及最大流/最小割对偶性。
• 即使所有输入参数（代价、增益、容量）在图的规模上均为多项式有界，该结果依然成立。
• 研究结果表明，目前尚无已知的多项式时间算法可用于平面加法网络中的这些问题，从而激励未来在近似算法与固定参数可追踪算法方面的研究。