[论文解读] Shortest Paths in Graphs of Convex Sets

Tobia Marcucci, Jack Umenberger+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2021

Robotic Path Planning Algorithms参考文献 44被引用 13

一句话总结

本文提出了一种针对图中凸集最短路径问题（SPP in GCS）的新型混合整数凸优化公式，其中顶点位置为受凸集约束的连续变量，边长为这些位置的凸函数。该方法利用视角松弛构建出紧致且轻量的混合整数凸规划（MICP），从而在大规模高维图中实现高效的全局优化，显著优于先前在控制应用中的方法。

ABSTRACT

Given a graph, the shortest-path problem requires finding a sequence of edges with minimum cumulative length that connects a source vertex to a target vertex. We consider a variant of this classical problem in which the position of each vertex in the graph is a continuous decision variable constrained in a convex set, and the length of an edge is a convex function of the position of its endpoints. Problems of this form arise naturally in many areas, from motion planning of autonomous vehicles to optimal control of hybrid systems. The price for such a wide applicability is the complexity of this problem, which is easily seen to be NP-hard. Our main contribution is a strong and lightweight mixed-integer convex formulation based on perspective operators, that makes it possible to efficiently find globally optimal paths in large graphs and in high-dimensional spaces.

研究动机与目标

• 解决顶点位置为连续变量并受凸集约束、边长凸依赖于这些位置的NP难最短路径问题。
• 为该类问题开发一种计算高效且全局最优的求解方法，该类问题出现在运动规划与混合系统最优控制中。
• 设计一种既强健又轻量的混合整数凸规划（MICP），以实现对大规模图和高维空间的可扩展性。
• 提出一种基于集合的凸松弛方法，用于处理双线性约束，无需显式了解凸集信息，仅需通过分离 oracle 访问。
• 在离散时间混合动力系统的最优控制中展示该框架的有效性，其性能优于当前最先进的方法。

提出的方法

• 通过在经典网络流公式中引入视角松弛，将GCS中的SPP公式化为混合整数凸规划（MICP）。
• 使用视角算子构建由连续变量与二元选择变量乘积产生的双线性项的紧致凸松弛。
• 提出一种基于集合的松弛方法，直接作用于抽象凸集，无需显式约束，从而可应用于仅通过分离 oracle 访问的黑箱凸集。
• 采用基于流的建模方法，其中二元变量表示路径选择，连续变量表示路径上的顶点位置。
• 实现MICP的凸松弛，保持强对偶性，并可通过现代求解器高效求解全局最优解。
• 利用凸集与凸边长函数的结构特性，确保整体公式保持凸性与可处理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否高效求解受凸集约束的连续顶点位置图中之最短路径问题，并达到全局最优？
• RQ2 如何对连续位置与路径选择变量乘积产生的双线性项进行紧致松弛，同时保持最优性？
• RQ3 所提出的MICP公式在高维与大规模实例中，其强对偶性与紧致松弛程度如何？
• RQ4 该公式能否在计算性能上优于现有方法，应用于混合动力系统的最优控制？
• RQ5 松弛间隙对图中结构对称性的敏感程度如何？实际中能否缓解此类情况？

主要发现

• 所提出的MICP公式可实现对高维空间（数十维）与大规模图（数百个顶点）中凸集图最短路径的全局优化。
• MICP的凸松弛通常非常紧致，最坏情况下的松弛间隙仅为5%，仅在高度人为构造的对称情况下可能变得任意松散。
• 在对称实例中，若从源点到中间节点的边长为零，且目标与中间集合均以原点为中心，松弛间隙可达100%，但此类情况在实际中极为罕见。
• 该框架通过将状态与控制变量嵌入凸集，并利用边长表示能量或成本，成功建模了离散时间混合系统的最优控制问题。
• 数值实验表明，该方法在控制应用中的计算时间与可扩展性方面，优于当前最先进的技术。
• 基于集合的视角松弛使该方法可处理仅通过分离 oracle 访问的黑箱凸集，显著增强了其在复杂或非多面体集合中的适用性。