[论文解读] Shrinking Targets for Countable Markov Maps

Henry W. J. Reeve|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文证明，对于单位区间上具有可数分支的扩张马尔可夫映射，当轨道无限次进入以点 $ y $ 为中心、半径为 $ e^{-neta} $ 的收缩球时，收缩目标集的豪斯多夫维数由 $ s(\alpha) $ 给出，其中 $ s(\alpha) $ 是满足压力函数 $ P(-s\log|T'|) < s\alpha $ 的最小 $ s $。当游荡集 $ \Lambda $ 在 $[0,1]$ 中稠密时，该结果对 $ \overline{\Lambda} $ 中的所有 $ y $ 成立；但当 $ y \notin \Lambda $ 时，即使 $ \dim_H \Lambda < 1 $，该结果也可能不成立，表明即使 $ s(\alpha) > 0 $，维数仍可能为零。

ABSTRACT

Let $T$ be an expanding Markov map with a countable number of inverse branches and a repeller $Λ$ contained within the unit interval. Given $α\in \R_+$ we consider the set of points $x \in Λ$ for which $T^n(x)$ hits a shrinking ball of radius $e^{-nα}$ around $y$ for infinitely many iterates $n$. Let $s(α)$ denote the infimal value of $s$ for which the pressure of the potential $-s\log|T'|$ is below $s α$. Building on previous work of Hill, Velani and Urbański we show that for all points $y$ contained within the limit set of the associated iterated function system the Hausdorff dimension of the shrinking target set is given by $s(α)$. Moreover, when $\barΛ=[0,1]$ the same holds true for all $y \in [0,1]$. However, given $β\in (0,1)$ we provide an example of an expanding Markov map $T$ with a repeller $Λ$ of Hausdorff dimension $β$ with a point $y\in \barΛ$ such that for all $α\in \R_+$ the dimension of the shrinking target set is zero.

研究动机与目标

• 确定具有无限多分支的可数扩张马尔可夫映射的收缩目标集的豪斯多夫维数。
• 将希尔、韦拉尼和乌尔班斯基在有限分支系统中的先前结果推广至无限分支系统。
• 研究维数对目标点 $ y $ 的依赖性，特别是当 $ y \in \overline{\Lambda} \setminus \Lambda $ 时的情况。
• 确定收缩目标集维数为正或零的条件，即使 $ s(\alpha) > 0 $。
• 提供一个反例，表明即使 $ \dim_H \Lambda \in (0,1) $ 且 $ s(\alpha) > 0 $，仍可能有 $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = 0 $。

提出的方法

• 将收缩目标集 $ \mathcal{D}_y(\alpha) $ 定义为满足 $ T^n(x) $ 对无穷多个 $ n $ 进入以 $ y $ 为中心、半径为 $ e^{-n\alpha} $ 的球的点 $ x \in \Lambda $ 的集合。
• 利用压力函数 $ P(-s\log|T'|) $ 定义 $ s(\alpha) $ 为满足 $ P(-s\log|T'|) < s\alpha $ 的最小 $ s $，该值控制维数。
• 应用热力学形式化和维数理论中的技术，特别是测度转移原理和覆盖论证。
• 通过圆柱集 $ V_\omega $ 的嵌套覆盖构造收缩目标集，并利用导数增长 $ |(T^n)'(x)| > \xi^n $ 估计其直径。
• 利用势函数 $ \Phi(n,x) = e^{-S_n(\varphi)(x)} $ 的几乎乘法性质，控制目标集的大小，并将其与压力函数关联。
• 通过证明对任意 $ \epsilon > 0 $，该集合的 $ \epsilon $-豪斯多夫测度有限，从而得到维数的上界 $ \dim_H \leq s(\alpha) $；并通过构造一个具有维数 $ s(\alpha) $ 的康托尔型子集，证明下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有无限多逆分支的扩张可数马尔可夫映射，收缩目标集 $ \mathcal{D}_y(\alpha) $ 的豪斯多夫维数是多少？
• RQ2 当游荡集 $ \Lambda $ 在 $[0,1]$ 中稠密时，公式 $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = s(\alpha) $ 是否对所有 $ y \in \overline{\Lambda} $ 成立？
• RQ3 即使 $ s(\alpha) > 0 $，是否可能有 $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = 0 $？若成立，对 $ y $ 和 $ \Lambda $ 有何条件？
• RQ4 当 $ y \in \Lambda $ 与 $ y \in \overline{\Lambda} \setminus \Lambda $ 时，收缩目标集的行为有何不同？
• RQ5 在什么条件下，收缩目标集的维数严格小于 $ s(\alpha) $，即使 $ s(\alpha) > 0 $？

主要发现

• 对于具有游荡集 $ \Lambda $ 的扩张可数马尔可夫映射，即使映射有无限多逆分支，对所有 $ y \in \Lambda $，收缩目标集 $ \mathcal{D}_y(\alpha) $ 的豪斯多夫维数均等于 $ s(\alpha) $。
• 当 $ \overline{\Lambda} = [0,1] $ 时，对所有 $ y \in [0,1] $（包括 $ \Lambda $ 的闭包中的点），公式 $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = s(\alpha) $ 成立。
• 对任意 $ \beta \in (0,1) $，存在一个扩张马尔可夫映射，满足 $ \dim_H \Lambda = \beta $，且存在一点 $ y \in \overline{\Lambda} \setminus \Lambda $，使得对所有 $ \alpha > 0 $，有 $ \dim_H \mathcal{D}_y(\alpha) = 0 $，尽管 $ s(\alpha) > 0 $。
• 即使 $ s(\alpha) > 0 $，$ \mathcal{D}_y(\alpha) $ 的维数仍可能为零，这表明对某些 $ y $，基于压力的维数与目标集的实际几何维数之间存在显著差异。
• 通过显式构造表明，由特定势函数 $ \Phi $ 定义的集合 $ S_0(\Phi) $ 的豪斯多夫维数为零，尽管其关联的压力函数满足 $ s(\Phi) > 0 $。
• 该结果可推广至几乎乘法函数 $ \Phi(n,x) $，只要 $ T $ 是可数马尔可夫映射且 $ \Phi $ 满足几乎乘法条件，则有 $ \dim_H \mathcal{S}_y(\Phi) = s(\Phi) $。