[论文解读] Shtuka cohomology and special values of Goss L-functions

M. Mornev|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文通过利用shtuka和$ζ$-同构构建一个上同调框架，为任意系数环上的Drinfeld模建立了类数公式。该工作推广了Taelman的类数公式，将Goss $L$-函数的特殊值与调节子及shtuka模型的上同调联系起来，通过shtuka上同调和迹公式证明了$L(E^*,0) \cdot \det_A \operatorname{Lie}_E(R) = \det_F(\rho_E)(\det_A U_E)$。

ABSTRACT

Assuming everywhere good reduction we generalize the class number formula of Taelman to Drinfeld modules over arbitrary coefficient rings. In order to prove this formula we develop a theory of shtukas and their cohomology.

研究动机与目标

• 将Taelman的Drinfeld模类数公式从$A = \mathbb{F}_q[t]$的情形推广到任意系数环$A$。
• 为全局和局部模型上的shtuka发展上同调理论，以计算Goss $L$-函数的特殊值。
• 建立Drinfeld模的算术调节子与$ s=0 $处其$ L $-函数特殊值之间的精确联系。
• 证明shtuka上同调中的$\zeta$-同构通过迹公式和行列式恒等式编码了$ L $-值与调节子。

提出的方法

• 为定义在Dedekind环$R$上的Drinfeld模$E$构造一个与之关联的全局shtuka模型$\mathcal{M}$，其系数属于环$A$。
• 利用shtuka上同调理论，包括完备的Čech上同调与紧支集上同调，计算$\operatorname{R\Gamma}(C^\circ \times X, \mathcal{M})$及其对偶。
• 应用$\zeta$-同构与调节子，关联$\mathcal{M}$及其对偶$\nabla\mathcal{M}$的上同调，建立行列式恒等式。
• 通过Artinian调节子的迹公式与Euler积，将$\zeta$-同构与$ L $-值通过$ L(\mathcal{M}) = L(E^*,0) $联系起来。
• 利用指数映射与Barsotti-Weil型公式，将单位复形$U_E$与李代数上同调联系起来。
• 应用基与系数的紧化方法，将$\mathcal{M}$扭为$\mathfrak{e}^n$形式（$n \gg 0$），以保证上同调的有限性与相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Drinfeld模的类数公式从$A = \mathbb{F}_q[t]$推广到任意系数环$A$？
• RQ2 shtuka上同调在计算Goss $L$-函数特殊值中起什么作用？
• RQ3 shtuka上同调中的$\zeta$-同构如何编码特殊值$L(E^*,0)$？
• RQ4 算术调节子$\rho_E$能否通过$\zeta$-同构在上同调语言中实现为一个行列式？
• RQ5 全局shtuka模型的上同调与$ s=0 $处$ L $-值之间的确切关系是什么？

主要发现

• 本文证明了$L(E^*,0) \cdot \det_A \operatorname{Lie}_E(R) = \det_F(\rho_E)(\det_A U_E)$，为任意系数环上的Drinfeld模建立了类数公式。
• $\zeta$-同构$\zeta$对于全局shtuka模型$\mathcal{M}$满足$\zeta = L(\mathcal{M}) \cdot \det_F(\rho)$，其中$L(\mathcal{M}) = L(E^*,0)$。
• 全局模型$\mathcal{M}$的上同调计算了单位复形$U_E[-1]$与李代数$\operatorname{Lie}_E(R)[-1]$，且在拟同构下调节子$\rho$与$\rho_E[-1]$一致。
• 当$ n $充分大时，扭模型$\mathfrak{e}^n\mathcal{M}$满足$\zeta_{\mathfrak{e}^n\mathcal{M}} = L(\mathfrak{e}^n\mathcal{M}) \cdot \det_F(\rho_{\mathfrak{e}^n\mathcal{M}})$，从而可应用迹公式。
• 调节子$\rho_E$被实现为$F \otimes_A U_E[-1]$与$\operatorname{Lie}_E(K)[-1]$之间的拟同构，其行列式编码了$ L $-值。
• 全局模型及其上同调的构造为特殊值$L(E^*,0)$提供了通过行列式函子与$\zeta$-同构的上同调解释。