[论文解读] Shuffling and Unshuffling

Dane Henshall, Narad Rampersad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2011

semigroups and automata theory被引用 8

一句话总结

本文研究形式语言上shuffle与unshuffling操作的封闭性质，特别关注self-shuffle与逆分频变换。证明了虽然正则语言在某些unshuffling操作（如bdir）下封闭，但上下文无关语言在bdir或ss下不封闭，并建立pssr(L)在L为正则时为上下文无关语言，通过bdir与PDA模拟的新型关联实现。

ABSTRACT

We consider various shuffling and unshuffling operations on languages and words, and examine their closure properties. Although the main goal is to provide some good and novel exercises and examples for undergraduate formal language theory classes, we also provide some new results and some open problems.

研究动机与目标

• 分析正则语言与上下文无关语言上self-shuffle操作（ss, pss, ssr, pssr）的封闭性质。
• 研究逆分频操作（bdi, bdir）对语言类的影响。
• 确定上下文无关语言是否在各种shuffle与unshuffling变换下封闭。
• 为高级本科形式语言理论课程提供新结果与开放问题。

提出的方法

• 使用同态与逆同态刻画shuffle操作，利用正则语言与上下文无关语言的封闭性质。
• 采用非确定性下推自动机（PDA）验证如ssr与pssr等self-shuffle语言的成员资格。
• 通过与正则语言的交集隔离关键子语言，以进行泵引理分析。
• 引入bdir操作（带反转的逆分频）并通过对奇数位与偶数位上DFA的双重模拟，证明其在正则语言下的封闭性。
• 利用bdir操作建立pssr(L)与语言{ww^R : w ∈ bdir(L)}之间的联系，以证明上下文无关性。
• 依赖对词模式与基于位置的约束的结构分析，推导self-shuffle构造中的语言成员资格与等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 正则语言L的self-shuffle ss(L)是否总是上下文无关？
• RQ2 正则语言L的完美self-shuffle pssr(L)是否保持上下文无关？
• RQ3 上下文无关语言在bdir操作（带反转的逆分频）下是否封闭？
• RQ4 能否通过如bdir的结构变换将pssr操作约化为已知语言类？
• RQ5 bdir(L)与回文语言{ww^R : w ∈ bdir(L)}之间有何关系？

主要发现

• 正则语言L的self-shuffle ss(L)不一定是上下文无关的，如ss({0,1}*) ∩ R对特定正则R非上下文无关所示。
• 正则语言L的完美self-shuffle pssr(L)是上下文无关的，通过证明其等于{ww^R : w ∈ bdir(L)}并利用上下文无关语言在回文构造下的封闭性得以证明。
• bdir操作保持正则性：若L为正则，则bdir(L)也为正则，通过在奇数位与偶数位上对DFA的双重模拟得以证明。
• 上下文无关语言类在bdir下不封闭，通过构造一个CFL L使得bdir(L)包含非CFL子语言(03)^n(13)^n(23)^{2n}得以证明。
• bdir操作等价于Jantzen与Petersen研究的已知变换“twist”，其封闭性质与先前结果一致。
• 证明了一个关键结构恒等式：w sh w^R = bdir(w) bdir(w)^R，该恒等式使pssr(L)可约化为bdir(L)上的回文语言。