[论文解读] Side-to-side Tiling of the Sphere by Congruent Curvilinear Triangles

Keyi Jin, Linming Lu+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2026

Quasicrystal Structures and Properties被引用 0

一句话总结

作者将球面的边-边平铺按同构曲线三角形进行分类，并证明它们只是已知直三角形平铺的修改；没有实质性的新曲线平铺出现。

ABSTRACT

The edge-to-edge tilings of the sphere by congruent polygons, where all edges are straight, have been completely classified. We classify the curvilinear version of the similar triangular tilings, where the edges may not be straight, and find that these are the modifications of the straight triangular tilings.

研究动机与目标

• 在曲线边而非直边的曲面上理解平铺的动机。
• 分类球面上所有以顶点度数至少为3的同构曲线三角形的边-边平铺。
• 确定曲线修正是否会带来超出直三角形情况的新平铺。

提出的方法

• 用曲线边定义原元并区分边的类型（一般、h-对称、r-对称、直边）。
• 在度数≥3的约束下，枚举 sixteen 种与边-边平铺兼容的曲线三角形原元。
• 利用顶点处的角和关系来约束可能的平铺，并通过引理2计算可行的 f（图块数）和顶点构型。
• 考察曲线平铺与已知直三角形平铺（正多胞体、三角网划分、地球地图平铺）之间的对应关系，并识别这些平铺的修改（翻转/旋转）。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些曲线三角形原元能够在球面上实现边-边平铺且所有顶点的度数至少为3？
• RQ2 曲线平铺是否产生新平铺，还是都只是现有直三角形平铺的简化/修改？
• RQ3 边的类型区分如何影响可允许的平铺及其分类（正多胞体、地球地图、 subdivision）？

主要发现

• 共有16种适合平铺的曲线三角形，按曲线程度从最弯曲到几乎直的排序。
• 由同构曲线三角形实现的边-边平铺是对同构直三角形边-边平铺的修改；不存在本质上的新曲线平铺。
• 对应于 rrr- 和 rrr−1 型边的平铺给出规则的正多胞体平铺（四面体、正八面体、正二十面体）。
• g¯gr、g¯g−1r、g¯ga、g¯g−1a、h¯hr、h¯ha、rr′r′′、rr′a、rr−1r′、rr−1a 产生正多胞体细分和地球地图平铺，并带有若干修改（翻转/旋转）。
• 对于某些曲线类型，平铺简化为正多胞体的三角网划分，或为地球地图平铺 EI△1、EJ△1、EJ△2，以及它们的修改 FE△1、RE△1 等。