[论文解读] Sidorenko's conjecture for blow-ups

David Conlon, Joonkyung Lee|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用 26

一句话总结

本文通过一种新颖的“Hölder技巧”，将复杂的图转化为更简单的图，从而证明了对一大类二分图的Sidorenko猜想。关键结果表明：若对每个度数 $k$，在二分图的一个部分中，度数为 $k$ 的顶点数满足涉及二项式系数的可除性条件，则该猜想成立。这表明，对任意二分图 $H$，其某个放大图 $H_A^p$ 满足该猜想，从而证实了Sidorenko猜想的 $L^p$-版本。

ABSTRACT

A celebrated conjecture of Sidorenko and Erdős-Simonovits states that, for all bipartite graphs $H$, quasirandom graphs contain asymptotically the minimum number of copies of $H$ taken over all graphs with the same order and edge density. This conjecture has attracted considerable interest over the last decade and is now known to hold for a broad range of bipartite graphs, with the overall trend saying that a graph satisfies the conjecture if it can be built from simple building blocks such as trees in a certain recursive fashion. Our contribution here, which goes beyond this paradigm, is to show that the conjecture holds for any bipartite graph $H$ with bipartition $A \cup B$ where the number of vertices in $B$ of degree $k$ satisfies a certain divisibility condition for each $k$. As a corollary, we have that for every bipartite graph $H$ with bipartition $A \cup B$, there is a positive integer $p$ such that the blow-up $H_A^p$ formed by taking $p$ vertex-disjoint copies of $H$ and gluing all copies of $A$ along corresponding vertices satisfies the conjecture. Another way of viewing this latter result is that for every bipartite $H$ there is a positive integer $p$ such that an $L^p$-version of Sidorenko's conjecture holds for $H$.

研究动机与目标

• 解决极值图论中关于准随机图中二分图副本最小数量的长期悬而未决的猜想。
• 将已知满足Sidorenko猜想的图类扩展至超越树或弱范数图递归构造的范围。
• 证明对任意二分图 $H$，存在一个正整数 $p$，使得其放大图 $H_A^p$ 满足该猜想。
• 提出一种新方法——“Hölder技巧”——可将复杂二分图简化为更易处理的形式以供分析。

提出的方法

• 引入一种名为“Hölder技巧”的新方法，利用Hölder不等式将复杂图的同态密度与结构更简单的图的同态密度关联起来。
• 基于二分图中一个部分顶点的度分布，通过顶点集的置换平均，定义一个变换图 $J$。
• 利用幂函数的凸性及Hölder不等式，将同态密度 $t_H(G)$ 从下界控制在 $t_{K_2}(G)^{e(H)}$ 之内，即猜想所给出的下界。
• 将该方法应用于满足：在部分 $B$ 中，度数为 $k$ 的顶点数可被 $\binom{|A|}{k}$ 整除的图，以确保平均过程产生一个良定义且可积的函数。
• 证明由此得到的变换图 $J$ 满足Sidorenko猜想，原因在于其结构简单，且其弱范数图的已知性质可被利用。
• 利用 $H$ 沿 $A$ 的放大图可基于同一框架分析的事实，证明当 $p$ 足够大时，$H_A^p$ 满足该猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于无法通过递归树状操作构造的二分图，Sidorenko猜想是否成立？
• RQ2 能否利用结构与分析技术，证明任意二分图的放大图满足该猜想？
• RQ3 二分图某一边的度分布需满足何种条件，才能确保Sidorenko猜想的有效性？
• RQ4 是否存在一个对所有二分图都成立的Sidorenko猜想的一般 $L^p$-版本？
• RQ5 “Hölder技巧”能否系统性地应用于将复杂图同态不等式简化为更简单、已知的情形？

主要发现

• 若对每个 $k$，在二分图 $H$ 的二分划分 $A \cup B$ 中，度数为 $k$ 的顶点数可被 $\binom{|A|}{k}$ 整除，则Sidorenko猜想对 $H$ 成立。
• 对任意二分图 $H$，存在一个正整数 $p$，使得其放大图 $H_A^p$ 满足Sidorenko猜想。
• $L^p$-版本的Sidorenko猜想对每个二分图 $H$ 成立，即存在某个 $p \geq 1$，使得 $H_A^p$ 满足该猜想。
• 该证明依赖于一种新颖的“Hölder技巧”，通过置换平均与Hölder不等式，将问题约化为一个具有受控度结构的更简单图 $J$。
• 当 $H$ 在 $B$-侧为正则图时，只要 $|B| \geq \binom{|A|}{r}$，则无需可除性条件，猜想即成立。
• 建立了猜想的一个局部版本：对任意 $\varepsilon, q > 0$，一个边密度为 $q$ 的大图中，存在一组互异顶点，其诱导出的 $H$-副本密度与 $q^{e(H)}$ 的偏差在 $\varepsilon$ 以内。