[论文解读] Siegel metric and curvature of the moduli space of curves

Elisabetta Colombo, Paola Frediani|ArXiv.org|May 22, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文研究了由周期映射到主极化阿贝尔簇模空间 $A_g$ 所诱导的曲面模空间 $M_g$ 上的 Siegel 度量。它推导出在 Schiffer 变化下，全纯截面曲率的显式公式，该公式以 $A_g$ 的曲率和第二高斯映射表示，并证明 Siegel 度量的凯勒形式可作为闭当前形式延拓至 Deligne-Mumford 紧化 $¯{M}_g$，其上同调类为 $π\lambda$，其中 $λ$ 是霍奇丛的一阶陈类。

ABSTRACT

We study the curvature of the moduli space M_g of curves of genus g with the Siegel metric induced by the period map. We give an explicit formula for the holomorphic sectional curvature of M_g along a Schiffer variation at a point P on the curve X, in terms of the holomorphic sectional curvature of A_g and the second Gaussian map. Finally we extend the Kaehler form of the Siegel metric as a closed current on the Deligne-Mumford compatification of M_g and we determine its cohomology class as a multiple of the first Chern class of the Hodge bundle.

研究动机与目标

• 研究由周期映射到主极化阿贝尔簇模空间 $A_g$ 所诱导的曲面模空间 $M_g$ 的曲率性质。
• 在曲线上一点 $P$ 处，针对 Schiffer 变化 $\xi_P$，推导 $M_g$ 上全息截面曲率的显式公式。
• 确定 Siegel 度量的凯勒形式在延拓为 Deligne-Mumford 紧化 $¯{M}_g$ 上的闭当前形式时的上同调类。
• 分析特殊点（如韦伯斯特点和三叶曲线的分支点）的作用，此时 $M_g$ 的曲率与 $A_g$ 的曲率一致。

提出的方法

• 通过周期映射 $j: M_g \to A_g$，将 $Sp(2g,\mathbb{R})$-不变度量从 Siegel 上半空间 $H_g$ 上拉回到 $M_g$ 上的 Siegel 度量。
• 利用浸入映射 $j^{(n)}: M_g^{(n)} \to A_g^{(n)}$ 的第二基本形式，计算 $M_g^{(n)}$ 上 Siegel 度量的曲率，该形式被证明是第二高斯映射 $\mu_2: I_2(K_X) \to H^0(X, 4K_X)$ 的提升。
• 将 $M_g^{(n)}$ 沿 Schiffer 变化 $\xi_P$ 的全纯截面曲率表示为 $A_g^{(n)}$ 的曲率与 $\mu_2$ 的范数之和。
• 通过周期映射的延拓 $\overline{j}: \overline{M}_g^{(n)} \to \overline{A}_g^{(n)}$，将 $¯{A}_g^{(n)}$ 上延拓的霍奇度量当前的拉回，将 Siegel 度量的凯勒形式作为闭当前形式延拓至 $¯{M}_g$。
• 通过在稳定曲线的一族 1-参数族（一个可变的椭圆曲线附着于一个固定的 $g-1$-曲线）上计算该形式的积分，利用 Wolpert 的循环，计算延拓后凯勒形式的上同调类。
• 通过比较基本域上的积分，确定 $[\omega] = c\lambda$ 中的常数 $c$，得出 $c = \pi$，因此 $[\omega] = \pi\lambda$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Schiffer 变化 $\xi_P$ 下，$M_g$ 上 Siegel 度量的全纯截面曲率与 $A_g$ 的曲率相比如何？
• RQ2 在曲线上点 $P$ 满足何种条件时，$M_g$ 沿 $\xi_P$ 的全纯截面曲率等于 $A_g$ 的曲率？
• RQ3 能否将 $M_g$ 上 Siegel 度量的凯勒形式作为闭当前形式延拓至 Deligne-Mumford 紧化 $¯{M}_g$？若能，其上同调类为何？
• RQ4 曲率与第二高斯映射 $\mu_2$ 之间的确切关系为何？
• RQ5 在 $¯{M}_g$ 的边界附近，$M_g$ 的曲率行为如何渐近？

主要发现

• 沿 Schiffer 变化 $\xi_P$，$M_g$ 的全纯截面曲率严格小于 $A_g$ 的曲率，除非 $P$ 是双曲曲线的韦伯斯特点，或三叶曲线的 $g^1_3$ 的分支点。
• 在例外情形下，即当 $P$ 是双曲曲线的韦伯斯特点或三叶曲线的 $g^1_3$ 分支点时，$M_g$ 沿 $\xi_P$ 的全纯截面曲率恰好为 $-1$，与 $A_g$ 的曲率完全一致。
• Siegel 度量的凯勒形式可作为闭当前形式延拓至 Deligne-Mumford 紧化 $¯{M}_g$，并在 $H^2(\overline{M}_g, \mathbb{C})$ 中定义了一个良定的上同调类。
• 延拓后凯勒形式的上同调类为 $\pi\lambda$，其中 $λ$ 是 $¯{M}_g$ 上霍奇丛的一阶陈类。
• 周期映射 $j^{(n)}: M_g^{(n)} \to A_g^{(n)}$ 的第二基本形式在所有非双曲曲线处非零，且曲率公式明确依赖于第二高斯映射 $\mu_2$ 的范数。
• 曲率计算依赖于霍奇度量在 $¯{A}_g^{(n)}$ 上的延拓，其具有对数奇点，从而允许将相关当前拉回至 $¯{M}_g^{(n)}$。