[论文解读] Siegel modular forms and finite symplectic groups

Francesco Dalla Piazza, Bert van Geemen|ArXiv.org|Apr 23, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 13

一句话总结

本文研究了有限辛群 $Sp(2g, \mathbb{F}_2)$ 在 level 2 且偶权的 Siegel 模形式空间上的作用，对 $g \leq 3$ 将该表示分解为不可约分量。本文建立了与超弦理论相关的超弦测度模形式 $\Xi_8[0^{(g)}]$ 的唯一性结果，证明了 D’Hoker 和 Phong 所研究的 336 个权为 6 的 genus-three 模形式所张成的 105 维空间的不可约性，并给出了 Miyawaki 的权十二 cusp 形式在 genus 三中的新构造方法。

ABSTRACT

The finite symplectic group Sp(2g) over the field of two elements has a natural representation on the vector space of Siegel modular forms of given weight for the principal congruence subgroup of level two. In this paper we decompose this representation, for various (small) values of the genus and the level, into irreducible representations. As a consequence we obtain uniqueness results for certain modular forms related to the superstring measure, a better understanding of certain modular forms in genus three studied by D'Hoker and Phong as well as a new construction of Miyawaki's cusp form of weight twelve in genus three.

研究动机与目标

• 理解有限辛群 $Sp(2g, \mathbb{F}_2)$ 在 level 2 且偶权的 Siegel 模形式空间上的表示。
• 利用 theta 系列和计算工具，对小 genus $g \leq 3$ 将这些表示分解为不可约分量。
• 建立与超弦理论相关的模形式 $\Xi_8[0^{(g)}]$ 的唯一性结果。
• 分析 D’Hoker 和 Phong 研究的 336 个权为 6 的 genus-three 模形式，证明其张成的 105 维空间在 $Sp(6)$ 作用下不可约。
• 通过 336 个形式的平方和，提供一种构造 genus 三中 Miyawaki 的权十二 cusp 形式的新方法。

提出的方法

• 利用 $Sp(2g, \mathbb{F}_2) \cong \Gamma_g / \Gamma_g(2)$ 的自然作用于 level 2 的 Siegel 模形式空间。
• 通过 theta 系列显式描述 $g \leq 3$ 时的模形式，利用其在 $Sp(2g)$ 下的不变性。
• 应用群表示论，将 $Sp(2g)$ 在模形式上的表示分解为不可约分量。
• 利用 Heisenberg 群作用及其在 $\widetilde{Sp}(2g, \mathbb{Z})$ 上的提升，分析 theta 特征的变换性质。
• 应用 Schur 引理，证明 Heisenberg 不变量上的群提升作用与标准作用在标量意义下等价。
• 使用计算工具和特征表（例如 Frame 的表格）识别不可约表示并验证维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $g \leq 3$，$Sp(2g, \mathbb{F}_2)$-表示在 level 2 且偶权的 Siegel 模形式空间上的分解是什么？
• RQ2 D’Hoker 和 Phong 的 336 个权为 6 的 genus-three 模形式所张成的 105 维空间在 $Sp(6)$ 作用下是否不可约？
• RQ3 Miyawaki 在 genus 三中权为十二的 cusp 形式能否作为 D’Hoker-Phong 形式的平方和来构造？
• RQ4 $\Xi_8[0^{(g)}]$ 模形式在小 $g$ 下是否在 $Sp(2g, \mathbb{F}_2)$-作用下具有唯一性？
• RQ5 symplectic 群元素的提升在模形式的 Heisenberg 不变量上如何作用？

主要发现

• D’Hoker 和 Phong 研究的权为 6 的 genus-three 模形式空间维数为 105，且在 $Sp(6)$ 作用下携带一个不可约表示。
• $Sp(6)$ 在 D’Hoker 和 Phong 形式所张成的 105 维空间上的表示同构于 Frame 特征表中标记为分拆 (4,4,4,4,4,4,4) 的不可约表示。
• D’Hoker 和 Phong 的 336 个权为 6 的形式的平方和等于 genus 三中 Miyawaki 的权十二 cusp 形式。
• 该 105 维空间中的所有函数均为 cusp 形式，确认其非 Eisenstein 性质。
• $\Xi_8[0^{(g)}]$ 模形式在 $g=1,2,3$ 时被唯一确定为同种权与 level 下的唯一 $Sp(2g, \mathbb{F}_2)$-不变形式。
• $Sp(2g)$ 在模形式的 Heisenberg 不变量上的作用由提升 $\tilde{t}_v$ 实现，其作用为标准 symplectic 作用的标量倍，通过 $\theta[\Delta]^4$ 的变换性质精确验证了归一化。