[论文解读] Siegel modular forms of degree three and the cohomology of local systems

Jonas Bergström, Carel Faber+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

Advanced Algebra and Geometry被引用 12

一句话总结

本文提出了一个关于 principally polarized abelian threefolds 模空间 $τ_3$ 上辛局部系统 motivic Euler 特征的猜想公式，将其与三度 Siegel 模形式及局部系统的上同调联系起来。通过有限域上三型亏格曲线与阿贝尔三倍的点计数，作者推导出显式公式，可预测维数公式、Hecke 算子的迹、从亏格 1 到亏格 3 的提升，以及新的 Harder 型同余关系。

ABSTRACT

We give an explicit conjectural formula for the motivic Euler characteristic of an arbitrary symplectic local system on the moduli space A_3 of principally polarized abelian threefolds. The main term of the formula is a conjectural motive of Siegel modular forms of a certain type; the remaining terms admit a surprisingly simple description in terms of the motivic Euler characteristics for lower genera. The conjecture is based on extensive counts of curves of genus three and abelian threefolds over finite fields. It provides a lot of new information about vector-valued Siegel modular forms of degree three, such as dimension formulas and traces of Hecke operators. We also use it to predict several lifts from genus 1 to genus 3, as well as lifts from G_2 and new congruences of Harder type.

研究动机与目标

• 提出关于 principally polarized abelian threefolds 模空间 $τ_3$ 上辛局部系统 motivic Euler 特征的猜想公式。
• 通过有限域上的点计数，将这些局部系统的上同调与三度向量值 Siegel 模形式联系起来。
• 预测 Siegel 模形式的维数公式、Hecke 算子的迹，以及新的 Harder 型同余关系。
• 通过上同调数据识别从亏格 1 到亏格 3 的提升，以及从 $Γ_2$ 到亏格 3 的提升。

提出的方法

• 利用 Lefschetz 跟踪公式与有限域 $×_q$ 上三型亏格曲线及阿贝尔三倍的点计数，作者计算了上同调群上 Frobenius 的迹。
• 该方法依赖于 Weil 的思想：在 $×_q$ 上计数点可提供关于定义在 $×$ 上的算术模空间的上同调信息。
• 猜想的 motivic Euler 特征被分解为主项（来自 Siegel 模形式）与‘额外’项（来自低亏格贡献）的和。
• 基于数值数据，猜想额外项可用亏格 1 与亏格 2 的 motivic Euler 特征表示。
• 作者使用动机的 Grothendieck 群，将模形式上 Hecke 算子的迹与 $Ét$-上同调上 Frobenius 的迹联系起来。
• 通过在 $N_q(a,b,c)$（即 $×_q$ 上的点数）上的数值检验，验证了猜想，并与 Hecke 特征值同余关系进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $τ_3$ 上，辛局部系统 $Ã_{a,b,c}$ 的 motivic Euler 特征是什么？
• RQ2 如何利用有限域上阿贝尔三倍与曲线的点计数来计算 $τ_3$ 的上同调不变量？
• RQ3 是否存在从亏格 1 到亏格 3 的 Siegel 模形式提升？它们在上同调中如何体现？
• RQ4 能否从上同调数据预测新的 Harder 型同余关系？
• RQ5 motivic Euler 特征分解中的‘额外’项的结构是什么？

主要发现

• 猜想的 motivic Euler 特征 $e_c(τ_3, Ã_{a,b,c})$ 可分解为主项 $S[n(λ)]$（来自 Siegel 模形式）与‘额外’项 $e_{3,\text{extra}}(λ)$ 的和，后者可表示为亏格 1 与亏格 2 贡献的组合。
• 当 $(a,b,c) = (16,14,0)$ 时，对所有 $q \leq 17$，同余关系 $\lambda_q(F) \equiv_\ell \lambda_q(f)(\lambda_q(g) + q^{c+1}\lambda_q(h))$ 在模 $\ell=71$ 下成立，支持从亏格 1 到亏格 3 的猜想提升。
• 该公式预测：当 $(a,b,c) = (16,14,0)$ 时，$s^\text{gen}_{a-b,b-c,c+4} = 1$，且临界值 $\Lambda'({\rm Sym}^2(f)\otimes g\otimes h, a+b+5)$ 可被 $\ell=71$ 整除，与数值数据一致。
• 当 $(a,b,c) = (10,0,0)$ 时，Euler 特征为 $-2L^3 - S[12]L^3$，表明权为 12 的模形式有非平凡贡献。
• 该猜想预测：当 $(a,b,c) = (12,0,0)$ 时，$e_c(τ_3, Ã_{a,b,c})$ 包含 $S[16]$；当 $(a,b,c) = (14,0,0)$ 时，包含 $S[18]$，表明主项对权重的依赖性。
• 当 $(a,b,c) = (8,0,0)$ 时，Euler 特征中的额外项为 $-L^3 - L^2 + S[12]$，确认了对更高权重的猜想结构。