[论文解读] Siegel Zeros and Sarnak's Conjecture

Jake Chinis|arXiv (Cornell University)|May 31, 2021

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用 7

一句话总结

假设存在希格尔零点，本文证明了在自然数的某个子列上，楚阿拉猜想关于刘维尔函数的 $k$-点相关性成立。通过使用狄利克雷特征对刘维尔函数进行混合乘法逼近以及筛法方法，作者建立了刘维尔函数与任意零熵序列的渐近正交性，从而在相同假设下证实了萨尔纳克猜想。

ABSTRACT

Assuming the existence of Siegel zeros, we prove that there exists an increasing sequence of positive integers for which Chowla's Conjecture on $k$-point correlations of the Liouville function holds. This extends work of Germán and Kátai, where they studied the case $k=2$ under identical hypotheses. An immediate corollary, which follows from a well-known argument due to Sarnak, is that Sarnak's Conjecture on Möbius disjointness holds. More precisely, assuming the existence of Siegel zeros, there exists a subsequence of the natural numbers for which the Liouville function is asymptotically orthogonal to any sequence of topological entropy zero.

研究动机与目标

• 在存在希格尔零点的假设下，将格尔曼与卡泰的关于2-点相关性的结果推广到刘维尔函数的一般 $k$-点相关性。
• 在存在希格尔零点时，证明刘维尔函数在子列上表现出 $k$-点相关性的抵消性质。
• 通过已知的从楚阿拉猜想到萨尔纳克猜想的约化关系，证明在相同假设下萨尔纳克猜想关于莫比乌斯不相交性成立。
• 改进刘维尔函数的混合乘法函数逼近，使其在小素数上与原函数一致，在大素数上与狄利克雷特征一致。
• 通过仔细选择参数 $r$、$A_x$ 和 $u$，优化筛法估计中的误差项。

提出的方法

• 将刘维尔函数 $\lambda$ 用一个混合乘法函数 $\lambda_r$ 近似，该函数在满足 $p \leq r$ 的素数上与 $\lambda$ 一致，在满足 $p > r$ 的素数上与一个实本原狄利克雷特征 $\chi_\ell$ 一致。
• 利用 $\lambda_r$ 的结构，将 $\lambda$ 的 $k$-点相关性与特征和联系起来，借助希格尔零点假设下的已知估计对这些特征和进行有界控制。
• 应用预筛法以控制具有小素因子的整数的贡献，利用 $\lambda_r$ 的乘法结构。
• 通过参数 $u$ 控制筛法过程中的误差，证明误差项为 $\ll_k x u^{-u/2}$，当 $u \asymp (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$ 时该误差项可忽略不计。
• 通过优化参数 $r = x^{1/\alpha}$、$A_x$ 和 $u$，平衡相互竞争的误差项，实现最优衰减，此时 $\alpha = (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$。
• 利用恒等式 $\prod_{\max h_i < p \leq r} (1 - \frac{k+1}{p}) \ll_k 1$ 控制主项，依赖于大素数上欧拉乘积的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在假设存在希格尔零点时，楚阿拉猜想关于刘维尔函数的 $k$-点相关性是否成立？
• RQ2 格尔曼与卡泰在 $k=2$ 时使用的方法能否在相同假设下推广到一般 $k \geq 3$？
• RQ3 希格尔零点的存在在多大程度上蕴含莫比乌斯不相交性，即萨尔纳克猜想？
• RQ4 如何有效利用乘法函数的组合来逼近刘维尔函数，以控制高阶相关性？
• RQ5 参数 $r$、$A_x$ 和 $u$ 的何种选择能最小化筛法逼近中的误差项？

主要发现

• 在存在希格尔零点且 $\eta_\ell > \exp\exp(30)$ 的假设下，$k$-点相关和 $\sum_{n \leq x} \lambda(n+h_1)\cdots\lambda(n+h_k) = o_k(x)$ 沿子列 $x \in [q_\ell^{10}, q_\ell^{(\log\log\eta_\ell)/3}]$ 成立。
• 在 $k$-点相关性估计中，误差项被控制为 $\ll_k x u^{-u/2}$，当 $u \asymp (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$ 时，该误差项为 $o(x)$。
• 主项通过乘积 $\prod_{\max h_i < p \leq r} (1 - \frac{k+1}{p})$ 控制，由于大素数上欧拉乘积的收敛性，该乘积为 $\ll_k 1$。
• 对 $\lambda$ 的 $\lambda_r$ 近似使得相关和可被特征和控制，而这些特征和在希格尔零点假设下是较小的。
• 该结果蕴含萨尔纳克猜想：存在 $\mathbb{N}$ 的一个子列，使得 $\lambda$ 与任意零拓扑熵序列渐近正交。
• 最优参数选择 $\alpha = (\log\log\eta)^{1/2}(\log\eta)^{1/12}$ 平衡了筛法与特征和估计中的误差项，确保主项主导误差项。