[论文解读] Sigma-Algebras for Quasirandom Hypergraphs

Henry Towsner|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文通过与子集族 $\mathcal{I} \subseteq [k]$ 相关的 $\sigma$-代数，提出了一种用于 $k$-均匀超图的统一拟随机性框架。它证明了当且仅当超图序列渐近地包含正确数量的典范 $\mathcal{I}$-适应超图 $M_k[\mathcal{I}]$ 时，该序列是 $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{I}]$-拟随机的，从而推广了针对特定拟随机性概念的先前结果。

ABSTRACT

We examine the correspondence between the various notions of quasirandomness for k-uniform hypergraphs and sigma-algebras related to measurable hypergraphs. This gives a uniform formulation of most of the notions of quasirandomness for dense hypergraphs which have been studied, with each notion of quasirandomness corresponding to a sigma-algebra defined by a collection of subsets of [1,k]. We associate each notion of quasirandomness I with a collection of hypergraphs, the I-adapted hypergraphs, so that G is quasirandom exactly when it contains roughly the correct number of copies of each I-adapted hypergraph. We then identify, for each I, a particular I-adapted hypergraph M_k[I] with the property that if G contains roughly the correct number of copies of M_k[I] then G is quasirandom in the sense of I. This generalizes recent results of Kohayakawa, Nagle, Rödl, and Schacht; Conlon, Hàn, Person, and Schacht; and Lenz and Mubayi giving this result for some notions of quasirandomness.

研究动机与目标

• 在单一框架下统一密集 $k$-均匀超图中多种拟随机性概念，使用 $\sigma$-代数。
• 定义 $\mathcal{I}$-适应超图，使得 $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{I}]$ 意义下的拟随机性由每类此类超图的正确渐近密度表征。
• 识别出一个典范 $\mathcal{I}$-适应超图 $M_k[\mathcal{I}]$，使得其副本密度的渐近正确性可推出 $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{I}]$-拟随机性。
• 证明不同 $\mathcal{I}$ 产生不同的拟随机性概念，推广已知的分离结果。

提出的方法

• 本文使用超乘积和可测超图极限，将超图序列表示为概率空间中的无限可测超图。
• 基于 $[k]$ 的子集族 $\mathcal{I}$ 定义 $\sigma$-代数 $\mathcal{B}_{k,\mathcal{I}}$，以编码 $\mathcal{I}$-适应超图的结构。
• $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{I}]$ 拟随机性通过条件期望 $\mathbb{E}(\chi_E \mid \mathcal{B}_{k,\mathcal{I}}) = p$ 几乎处处成立来表征。
• $M_k[\mathcal{I}]$ 的构造基于从 $\mathcal{I}$ 衍生出的组合结构，推广了 $\mathcal{I}$ 为单元素集或划分时的已知构造。
• 使用分析技术，包括测度论投影和计数密度 $t_H(G_n)$，将超图极限与拟随机性条件联系起来。
• 等价性证明依赖于证明 $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{I}]$-拟随机性等价于对所有 $\mathcal{I}$-适应 $H$ 有 $t_H(G_n) \to p^{|F|}$，并进一步等价于 $t_{M_k[\mathcal{I}]}(G_n) \to p^{2^{\mathcal{I}}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一代数框架下系统地统一 $k$-均匀超图的不同拟随机性概念？
• RQ2 使得其副本密度渐近正确性可推出 $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{I}]$-拟随机性的最小超图 $M_k[\mathcal{I}]$ 是什么？
• RQ3 $[k]$ 的子集族 $\mathcal{I} \subseteq [k]$ 对应的 $\sigma$-代数如何与超图中的拟随机性条件对应？
• RQ4 对于不同的 $\mathcal{I}$，拟随机性概念 $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{I}]$ 是线性有序还是彼此不同？
• RQ5 拟随机性的谱或算子理论类比能否推广到此 $\sigma$-代数框架？

主要发现

• 本文证明，$k$-均匀超图序列是 $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{I}]$-拟随机的，当且仅当其渐近地包含每个 $\mathcal{I}$-适应超图的正确数量的副本。
• 对每个无子集的 $\mathcal{I} \subseteq [k]$，存在一个典范 $\mathcal{I}$-适应超图 $M_k[\mathcal{I}]$，使得 $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{I}]$-拟随机性等价于 $\lim_{n\to\infty} t_{M_k[\mathcal{I}]}(G_n) = p^{2^{\mathcal{I}}}$。
• $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{I}]$ 拟随机性概念对于不同的无子集族 $\mathcal{I}$ 是两两不同的，推广了已知的分离结果。
• $M_k[\mathcal{I}]$ 的构造推广了先前结果：当 $k=2$ 时，它恢复了 $4$-环 $C_4$；当 $\mathcal{I}$ 为单元素集时，它恢复了 Conlon 等人提出的线性超图 $M$；当 $\mathcal{I}$ 为划分时，它恢复了 Lenz 和 Mubayi 的 $\mathcal{I}$-线性超图。
• 本文证明，对任意 $\mathcal{I}$，存在一个超图序列，其为所有 $\mathcal{J} \not\leq \mathcal{I}$ 的 $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{J}]$，但不是 $\mathtt{Disc}_p[\mathcal{I}]$，从而证明了这些概念之间存在严格层次结构。
• 该框架可推广至相对拟随机性，其中当 $\mathcal{I} < \mathcal{J}$ 时有 $\mathbb{E}(\chi_E \mid \mathcal{B}_{k,\mathcal{J}}) = \mathbb{E}(\chi_E \mid \mathcal{B}_{k,\mathcal{I}})$，暗示了相对于给定结构的拟随机性的推广。