[论文解读] Sigmoid functions and exponential Riordan arrays

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，将sigmoid函数及其导数与指数Riordan阵列联系起来，特别关注导数子群[f′(x), f(x)]。研究表明，此类阵列可生成多项式族，其中一些为正交多项式，并建立了与组合序列（如第二类Stirling数）的联系。主要贡献在于通过Riordan阵列复合，明确建立了Gompertz sigmoid函数与Stirling数之间的联系。

ABSTRACT

Sigmoid functions play an important role in many areas of applied mathematics, including machine learning, population dynamics and probability. We place the study of sigmoid functions in the context of the derivative sub-group of the group of exponential Riordan arrays. Links to families of polynomials are drawn, and it is shown that in some cases these polynomials are orthogonal. In the non-orthogonal case, transformations are given that produce orthgonal systems. Alternative means of characterisation are given, based on the production (Stieltjes) matrix associated to the relevant Riordan array.

研究动机与目标

• 建立一个系统框架，利用指数Riordan阵列的导数子群分析sigmoid函数及其导数。
• 研究sigmoid基Riordan阵列作用于单项式基时生成的多项式族。
• 确定这些多项式族何时为正交，若不为正交，则推导出生成正交系统的变换。
• 通过Riordan阵列复合，阐明Gompertz sigmoid函数与第二类Stirling数之间的组合联系，特别是其组合结构。
• 提供(f′(t), f(t))对的参数可视化，以说明sigmoid-导数对的几何与解析行为。

提出的方法

• 利用指数Riordan阵列[g(x), f(x)]的群结构，重点关注解析sigmoid函数的导数子群[f′(x), f(x)]。
• 应用双变量生成函数g(x)e^{yf(x)}表示阵列元素t_{n,k} = n! / k! [x^n] g(x)f(x)^k。
• 采用生成矩阵（Stieltjes矩阵）刻画Riordan阵列并分析其矩序列。
• 通过生成函数与复指数展开，推导出阵列元素的显式公式，特别针对三角函数与双曲函数的sigmoid对。
• 利用Riordan阵列乘法与复合逆，通过[R1] = [e^{1−x−e^{−x}}, 1−e^{−x}]与[R2] = [1, e^x−1]将Gompertz sigmoid阵列与第二类Stirling数关联。
• 应用(f′(t), f(t))的参数作图法，可视化sigmoid-导数对的几何形状，例如[cos(x), sin(x)]对应单位圆。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地利用指数Riordan阵列的导数子群研究sigmoid函数及其导数？
• RQ2 sigmoid基Riordan阵列生成的多项式族在何种条件下为正交？
• RQ3 哪些组合结构（如第二类Stirling数）支撑Gompertz sigmoid函数导数的系数？
• RQ4 这些Riordan阵列的生成矩阵如何反映其关联正交多项式的矩序列？
• RQ5 对各类sigmoid函数的(f′(t), f(t))对进行参数作图，可获得哪些几何洞察？

主要发现

• 指数Riordan阵列[e^{1−x−e^{−x}}, 1−e^{−x}]是如下递推关系定义的正交多项式族的矩矩阵：P_n(x) = (x + (n−1))P_{n−1}(x) + (n−1)P_{n−2}(x)，初始条件为P_0(x)=1, P_1(x)=1。
• 该正交多项式族相关的矩序列1, 0, −1, 12, −9, 9, ...的普通生成函数由包含x²与线性项的连分数表示。
• Gompertz sigmoid阵列[e^{1−t−e^{−t}}, e^{1−e^{−t}}−1]被证明等于[ e^{−t}, 1−e^{−t} ]与[ e^t, e^t−1 ]的乘积，从而直接与第二类Stirling数关联。
• Gompertz sigmoid阵列的一般元素g_{n,k}由公式g_{n,k} = ∑_{j=0}^n S2(n+1,j+1)(−1)^{n−j} S2(j+1,k+1}给出，其中S2(n,k)表示第二类Stirling数。
• Gompertz sigmoid函数导数的系数g_{n,0} = ∑_{j=0}^n S2(n+1,j+1)(−1)^{n−j}，即为第二类Stirling数的带符号和。
• 对各类sigmoid函数的(f′(t), f(t))对进行参数作图，如(sech²(t), tanh(t))与(1/(1+t²), tan⁻¹(t))，揭示了不同的几何形状，包括闭合曲线与S形轨迹。