[论文解读] Sign changes of fourier coefficients of modular forms of half integral weight, 2

Yujiao Jiang, Yuk-Kam Lau+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 4

一句话总结

本论文研究了半整数权 Hecke 特征形式的傅里叶系数中的符号变化，建立了在平方自由整数和算术级数上符号变化数目的改进下界。通过截断的 Voronoi 型级数和指数和估计，证明了符号变化数目的增长速度至少为 $x$ 的某个幂次，其中平方自由指标的指数被精确化为 $x^{2/9 - \varepsilon}$，而算术级数的指数为 $x^{1/2}$。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the sign changes of Fourier coefficients of half-integral weight Hecke eigenforms and give two quantitative results on the number of sign changes.

研究动机与目标

• 改进已知的半整数权 Hecke 特征形式傅里叶系数符号变化数目的下界。
• 将此前关于自然数全体中符号变化结果推广至算术级数。
• 将短区间内符号变化结果的指数从 $43/70 + \varepsilon$ 改进为 $1/2$。
• 对平方自由整数上的符号变化提供定量估计，优于先前的工作。

提出的方法

• 利用截断的 Voronoi 级数分析傅里叶系数的分布。
• 应用指数和估计以及 Kloosterman 和的性质以控制误差项。
• 利用与半整数权形式相关的 $L$-函数的函数方程。
• 结合谱论应用 Kuznetsov 跟踪公式推导渐近公式。
• 利用系数的乘法结构和正子空间条件，限制系数的支撑。
• 应用 Weil 不等式和 Ramanujan 和的界，以控制特征和与指数和。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平方自由整数上，半整数权 Hecke 特征形式傅里叶系数的符号变化数目的最佳可能下界是什么？
• RQ2 全自然数范围内的短区间符号变化结果能否推广至算术级数？
• RQ3 是否存在最优指数 $\vartheta$，使得平方自由整数上符号变化数目的增长速度为 $x^{\vartheta}$？
• RQ4 当限制在算术级数上时，短区间符号变化结果中的指数如何改进？
• RQ5 Meher & Murty 的结果中指数 $43/70 + \varepsilon$ 在算术级数上能否进一步改进？

主要发现

• 对于平方自由整数集 $\flat$，符号变化数目 $\mathcal{C}_{\mathfrak{f}}^{\flat}(x)$ 满足 $\mathcal{C}_{\mathfrak{f}}^{\flat}(x) \gg_{\mathfrak{f},\vartheta} x^{\vartheta}$，其中任意 $\vartheta < \min\left(\frac{1-2\varrho}{3}, \frac{1}{4}\right)$，在 Conrey-Iwaniec 的界 $\varrho = \frac{1}{6} + \varepsilon$ 下，指数从 $\frac{1}{15} - \varepsilon$ 提升至 $\frac{2}{9} - \varepsilon$。
• 对于算术级数 $\mathcal{A}_{a,Q} = \{n \equiv a \pmod{Q}\}$，其中 $Q$ 为奇数，符号变化数目 $\mathcal{C}_{\mathfrak{f}}^{\mathcal{A}}(x)$ 满足 $\mathcal{C}_{\mathfrak{f}}^{\mathcal{A}}(x) \gg x^{1/2}$，优于 Meher & Murty 的 $x^{43/70 + \varepsilon}$。
• 算术级数结果在 $Q=1$、$a=0$，或 $Q$ 为奇数且其素因子分解中所有 $\alpha_p$ 均为奇数的条件下成立。
• 通过改进截断 Voronoi 级数的分析并使用更强的指数和界，实现了指数 $1/2$ 的改进。
• 证明依赖于函数方程和谱论，对 $L$-函数及其扭曲版本进行了细致处理。
• 作者证明了符号变化发生在长度为 $x^{1/2}$ 的区间内，这在当前方法论框架下是最优的。