[论文解读] Sign-changing blowing-up solutions for the critical nonlinear heat equation

Manuel del Pino, Monica Musso+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用 6

一句话总结

该论文在维度 $ n \geq 5 $ 下构造了临界非线性热方程的无限时间爆破变号解，采用源自 Yamabe 方程的非径向变号轮廓。证明了存在初始数据及演化参数，使得解渐近趋近于一个缩放和平移后的变号孤子解，并在维度 5 和 6 中建立了稳定性。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^n$ and denote the regular part of the Green's function on $Ω$ with Dirichlet boundary condition as $H(x,y)$. Assume that $q \in Ω$ and $n\geq 5$. We prove that there exists an integer $k_0$ such that for any integer $k\geq k_0$ there exist initial data $u_0$ and smooth parameter functions $ξ(t) o q$, $0

研究动机与目标

• 研究临界非线性热方程是否存在具有变号轮廓的无限时间爆破解。
• 将先前关于正的、径向爆破解的结果扩展至变号、非径向解的情形。
• 通过非径向变号轮廓，证明在区域 $ \Omega $ 内单点 $ q $ 附近具有指定渐近行为的此类解的存在性。
• 在维度 5 和 6 中证明所构造解的稳定性。
• 通过 Green 函数与 Yamabe 方程的非径向解，严格验证渐近轮廓。

提出的方法

• 基于文献 [9] 的工作，构造 $ \mathbb{R}^n $ 上 Yamabe 方程 $ \Delta Q + |Q|^{\frac{4}{n-2}}Q = 0 $ 的一个非径向、能量可任意大且变号的解 $ Q_k $。
• 使用扰动方法构造临界热方程的解 $ u_q(x,t) $，使其渐近匹配 $ \mu(t)^{-(n-2)/2} \left( Q_k\left( \frac{x - \xi(t)}{\mu(t)} \right) - H(x,q) \right) $，其中 $ H $ 为 Green 函数的正则部分。
• 采用 Lyapunov-Schmidt 降维技术求解轮廓方程，同时考虑边界与 Green 函数的影响。
• 施加正交性条件以控制误差项，并确保投影问题的可解性。
• 分析轮廓附近的线性化算子，证明其核平凡且关键内积为正，从而保证解的存在性。
• 通过证明线性化算子无负特征值且解在初始数据的小扰动下保持有界，建立维度 5 和 6 中解的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{R}^n $（$ n \geq 5 $）中，临界非线性热方程是否存在具有变号轮廓的无限时间爆破解？
• RQ2 此类解的渐近轮廓为何？其与 Yamabe 方程非径向解有何关联？
• RQ3 参数 $ \xi(t) \to q $ 与 $ \mu(t) \to 0 $ 如何随时间演化以维持爆破行为？
• RQ4 所构造的变号爆破解在维度 5 和 6 中是否稳定？
• RQ5 Green 函数的正则部分 $ H(x,q) $ 在解的渐近结构中起何作用？

主要发现

• 对任意 $ n \geq 5 $，存在整数 $ k_0 $，使得对所有 $ k \geq k_0 $，存在初始数据 $ u_0 $ 及光滑函数 $ \xi(t) \to q $，$ \mu(t) \to 0 $（当 $ t \to \infty $ 时），使得解 $ u_q $ 以轮廓 $ \mu(t)^{-(n-2)/2} \left( Q_k\left( \frac{x - \xi(t)}{\mu(t)} \right) - H(x,q) \right) $ 形式在无限时间内爆破。
• 轮廓 $ Q_k $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 上 Yamabe 方程 $ \Delta Q + |Q|^{\frac{4}{n-2}}Q = 0 $ 的非径向、变号解，其构造见文献 [9]。
• 轮廓附近的线性化算子具有平凡核，且在相关函数空间中为正定，确保了约化问题的可解性。
• 投影方法中的系数 $ c_1 > 0 $ 对大 $ k $ 成立，通过 Lyapunov-Schmidt 降维确认了解的存在性。
• 系数 $ c_2 > 0 $ 对大 $ k $ 也成立，确保了内积条件中符号正确，从而保证了解的存在性。
• 在维度 5 和 6 中，所构造的解 $ u_q(x,t) $ 在初始数据的小扰动下是稳定的，其谱分析结果表明线性化算子无负特征值。