[论文解读] Sign patterns of the Liouville and Möbius functions

Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文利用关于乘法函数短区间平均值的最新结果，证明了长度不超过三的刘维尔函数与默比乌斯函数的所有符号模式均以正的下自然密度出现。对于刘维尔函数，所有八种长度为三的符号模式均以正的下密度出现；对于默比乌斯函数，所有九种长度为二的符号模式也均以正的下密度出现，其证明中创新性地运用了随机图连通性的方法。

ABSTRACT

Let $λ$ and $μ$ denote the Liouville and Möbius functions respectively. Hildebrand showed that all eight possible sign patterns for $(λ(n), λ(n+1), λ(n+2))$ occur infinitely often. By using the recent result of the first two authors on mean values of multiplicative functions in short intervals, we strengthen Hildebrand's result by proving that each of these eight sign patterns occur with positive lower natural density. We also obtain an analogous result for the nine possible sign patterns for $(μ(n), μ(n+1))$. A new feature in the latter argument is the need to demonstrate that a certain random graph is almost surely connected.

研究动机与目标

• 通过证明所有长度为三的刘维尔函数符号模式以正的下自然密度出现，来强化希尔德布兰德关于这些符号模式无限次出现的结果。
• 将此结果推广至默比乌斯函数，证明所有九种长度为二的可能符号模式均以正的下自然密度出现。
• 表明，刘维尔函数中极端符号模式（例如 +++ 或 ---）缺失的唯一障碍，已被近期关于乘法函数短平均值的结果所排除。
• 引入一种新的方法论工具——证明某一类随机图的几乎必然连通性，以应对默比乌斯函数零值带来的复杂性增加。

提出的方法

• 利用马托马基与拉兹维利近期关于乘法函数在短区间内平均值的结果，以控制符号模式的分布。
• 采用基于符号模式记号的组合框架，使用中心标记（v形符号）表示序列中乘法函数值的感兴趣位置。
• 应用筛法，对来自高次幂素因子的误差项进行上界估计，特别是针对不超过某个大但有界的 $ C $ 的素数。
• 使用中国剩余定理，计算模 $ ilde{ ho}^2 $ 的容许剩余类数量，其中 $ ilde{ ho} = \prod_{p \leq C} p $，以确保互素性与非平方因子条件。
• 应用布伦-蒂奇哈姆不等式，对算术级数中的素数数量进行上界估计，这对主项大小的估计至关重要。
• 引入一个随机图模型，其几乎必然连通性已被证明，从而确保计数论证中的主项主导误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 刘维尔函数在三个连续整数上的所有八种可能符号模式是否均以正的下自然密度出现？
• RQ2 默比乌斯函数在两个连续整数上的所有九种可能符号模式是否均以正的下自然密度出现？
• RQ3 能否利用近期关于乘法函数短平均值的结果，排除刘维尔函数中极端符号模式（如 +++ 或 ---）完全缺失的可能性？
• RQ4 在符号模式分析中，如何处理默比乌斯函数中的零值？需要哪些新的组合工具？
• RQ5 某一类随机图的连通性是否足以确保计数中主项主导误差项？

主要发现

• 刘维尔函数在三个连续整数上的所有八种符号模式均以正的下自然密度出现，强化了希尔德布兰德的无限性结果。
• 默比乌斯函数在两个连续整数上的所有九种符号模式均以正的下自然密度出现，这是该函数的新结果。
• 当参数 $ C $ 足够大时，符号模式计数中的主项主导误差项，从而确保了正的下密度。
• 该证明依赖于证明某一类随机图几乎必然连通，这对于控制默比乌斯函数情形下容许解的结构至关重要。
• 下密度被一个与 $ C $ 无关的正的常数从下方控制，且隐含常数在 $ C $ 上一致，尽管由于使用了巴拿赫极限，未导出显式界。
• 该方法可推广至其他完全乘法函数 $ f: \mathbb{N} \to \{-1,+1\} $，只要其在素数 2、3、5 处与 $ \lambda $ 一致，并满足模 60 的因子的算术级数中的素数定理。