[论文解读] Signal Acquisition from Measurements via Non-Linear Models

Niv Sarig, Yosef Yomdin|ArXiv.org|Oct 29, 2008

Image and Signal Denoising Methods参考文献 40被引用 15

一句话总结

本文提出了一种直接的代数方法，用于从其多项式矩中重构非线性有限参数模型（如分段代数函数、δ函数和求积区域）。通过将矩符号化为模型参数的非线性函数，并求解所得方程组，作者建立了与广义矩消失问题及柯西型积分的联系，从而能够利用代数和微分方程技术实现鲁棒重构。

ABSTRACT

We consider the problem of reconstruction of a non-linear finite-parametric model $M=M_p(x),$ with $p=(p_1,...,p_r)$ a set of parameters, from a set of measurements $μ_j(M)$. In this paper $μ_j(M)$ are always the moments $m_j(M)=\int x^jM_p(x)dx$. This problem is a central one in Signal Processing, Statistics, and in many other applications. We concentrate on a direct (and somewhat "naive") approach to the above problem: we simply substitute the model function $M_p(x)$ into the measurements $μ_j$ and compute explicitly the resulting "symbolic" expressions of $μ_j(M_p)$ in terms of the parameters $p$. Equating these "symbolic" expressions to the actual measurement results, we produce a system of nonlinear equations on the parameters $p$, which we consequently try to solve. The aim of this paper is to review some recent results (mostly of \cite{Vet5,Mil1,Mil2,Put1,Vet4,Vet3,Mil3,Mil4,Vet2}) in this direction, stressing the algebraic structure of the arising systems and mathematical tools required for their solutions. In particular, we discuss the relation of the reconstruction problem above with the recent results of \cite{bfy,bry,chr,pak1,pak2,pak3,pry,ry} on the vanishing problem of generalized polynomial moments and on the Cauchy-type integrals of algebraic functions. The accompanying paper \cite{Kis1} (this volume) provides a solution method for a wide class of reconstruction problems as above, based on the study of linear differential equations with rational coefficient, which are satisfied by the moment generating function of the problem.

研究动机与目标

• 开发一种直接的符号方法，用于从矩测量中重构非线性有限参数模型。
• 分析由多项式、有理函数和δ函数等模型所产生的基于矩的系统的代数结构。
• 将重构问题与广义矩消失问题及代数函数的柯西型积分联系起来。
• 为使用具有有理系数的线性微分方程求解矩反演问题提供理论基础。
• 将一维模型的结果扩展到二维情形，包括多边形、求积区域以及沿代数曲线的δ函数。

提出的方法

• 将模型函数 $ M_p(x) $ 代入矩积分 $ \mu_j(M_p) = \int x^j M_p(x) \, dx $，以得到关于参数 $ p $ 的符号表达式。
• 通过将符号化的矩表达式与实测值相等，建立非线性方程组。
• 利用矩生成函数分析并求解所得的非线性系统，尤其适用于分段代数和有理函数模型。
• 应用具有有理系数的线性微分方程理论中的技术，以重构如求积区域等模型。
• 对于二维情形，使用复矩，并通过有理函数参数化曲线，推导沿代数曲线的δ函数的矩系统。
• 利用 Wermer 定理和 Henkin 关于矩生成函数的工作结果，分析消失条件和重构可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用符号代数，从有限组多项式矩中重构非线性有限参数模型？
• RQ2 从矩测量中导出的非线性方程组背后的代数结构是什么？
• RQ3 在什么情况下有限矩变换是单射的，特别是对于分段代数函数？
• RQ4 广义多项式矩的消失性质如何与沿代数曲线的δ函数的重构相关？
• RQ5 矩生成函数在求解如求积区域等复杂几何形状的矩反演问题中起什么作用？

主要发现

• 有限矩变换在分段代数函数上是单射的，从而可从有限数量的矩中实现唯一重构。
• 从复矩中重构平面多边形和求积区域的问题，可归结为求解与δ函数重构中出现的相同非线性方程组。
• 对于沿有理曲线的δ函数，其矩系统等价于广义矩消失问题，且通过复合定理给出了必要且充分条件。
• 沿闭代数曲线的双矩消失，等价于该曲线在 $ \mathbb{C}^2 $ 中围成一个复2链，如 Wermer 定理所述。
• 矩生成函数在分析和求解矩反演问题中起核心作用，特别是在柯西型积分和代数函数的背景下。
• 基于具有有理系数的线性微分方程的方法，为一大类重构问题提供了系统化的求解框架，详见附录论文 [24]。