[论文解读] Signal Reconstruction Framework Based On Projections Onto Epigraph Set Of A Convex Cost Function (PESC)

Mohammad Tofighi, Kıvanç Köse+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 38被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种新颖的信号重建框架，PESC（凸代价函数的上图集投影），通过将优化问题的维度提升一维，并利用凸代价函数的上图集进行迭代正交投影，以实现全局最优解。该方法消除了总变差、$\mu at{1}$ 和熵代价函数中正则化参数调优的需求，在去噪和压缩感知中实现了精确或近乎精确的信号恢复，表现出优越性能。

ABSTRACT

A new signal processing framework based on making orthogonal Projections onto the Epigraph Set of a Convex cost function (PESC) is developed. In this way it is possible to solve convex optimization problems using the well-known Projections onto Convex Set (POCS) approach. In this algorithm, the dimension of the minimization problem is lifted by one and a convex set corresponding to the epigraph of the cost function is defined. If the cost function is a convex function in $R^N$, the corresponding epigraph set is also a convex set in R^{N+1}. The PESC method provides globally optimal solutions for total-variation (TV), filtered variation (FV), L_1, L_2, and entropic cost function based convex optimization problems. In this article, the PESC based denoising and compressive sensing algorithms are developed. Simulation examples are presented.

研究动机与目标

• 开发一种新型凸优化框架，避免在信号重建中进行正则化参数调优。
• 通过升维并利用上图集对凸最小化问题进行重新表述，以实现基于迭代投影的求解。
• 为总变差、$\mu at{1}$、滤波变差和熵代价函数实现全局最优解。
• 基于新框架设计高效的去噪和压缩感知算法，具备实际计算可行性。
• 在多种测试信号和图像中，展示出极低误差和高信噪比（SNR）的优越信号恢复性能。

提出的方法

• 通过引入辅助变量 $y$，将信号空间的维度从 $\mathbb{R}^N$ 提升至 $\mathbb{R}^{N+1}$。
• 定义上图集 $C_f = \{[\mathbf{w}^T~{}y]^T \in \mathbb{R}^{N+1} \mid y \geq f(\mathbf{w})\}$，若 $f(\mathbf{w})$ 为凸函数，则该集合为凸集。
• 定义一个水平集 $C_s = \{[\mathbf{w}^T~{}y]^T \mid y \leq \alpha\}$，在所提出的框架中 $\alpha = 0$。
• 从 $\mathbb{R}^{N+1}$ 中的任意初始估计出发，交替对 $C_s$ 和 $C_f$ 进行正交投影。
• 使用投影到超平面（TV 函数的支撑平面）的闭式解，以确保计算效率。
• 迭代直至收敛至全局最小解 $\mathbf{w}^*$，其对应于原始空间中的最优解。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过对上图集进行迭代投影来求解凸优化问题，而无需计算 Bregman 距离？
• RQ2 PESC 框架能否为总变差、$\ell_1$ 和熵代价函数实现全局最优解？
• RQ3 所提出的方法是否能消除在去噪和压缩感知中正则化参数调优的需求？
• RQ4 与现有最先进方法相比，基于 PESC 的算法在信噪比（SNR）和收敛速度方面表现如何？
• RQ5 当稀疏性未严格已知时，该方法是否仍能有效重建可压缩信号（如尖点信号）？

主要发现

• PESC 框架通过利用凸上图集，实现了对总变差、滤波变差、$\ell_1$ 和熵代价函数的全局最优解。
• 通过将信号投影到 TV 函数的支撑超平面上，该方法实现了无参数的总变差去噪。
• 对于 $N = 1024$ 的尖点信号，使用 $M = 204$ 次测量时，信噪比达到 45 dB；使用 $M = 717$ 次测量时，信噪比提升至 58 dB。
• 在二维压缩感知中，所提算法优于 Fowler 等人的块基方法，在 $64 \times 64$ 块中平均获得 1.24 dB 的信噪比增益，在 $32 \times 32$ 块中获得 0.42 dB 的增益。
• 对于 peppers 图像，所提方法在 $32\times32$ 和 $64\times64$ 块中分别实现了 27.06 dB 和 27.93 dB 的信噪比，分别超过 Fowler 方法 2.4 dB 和 3.47 dB。
• 收敛曲线显示，当 $M = 307$ 次测量时，误差在约 100 次迭代内降至接近零，表明在可压缩信号上收敛迅速。