[论文解读] Signature Change at Material Layers and Step Potentials

Sean A. Hayward|ArXiv.org|Sep 27, 1995

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文分析了时空度量在空间超曲面上从洛伦兹型到黎曼型的度量符号变化，表明此类度量由于非零的外曲率而本质上描述了在界面处存在物质层。爱因斯坦张量包含一个与第二基本形式成正比的狄拉克δ函数，这意味着即使在类似真空的设定下也存在物理物质内容，这与文献中声称此类度量代表真空解的观点相矛盾。

ABSTRACT

For a contravariant 4-metric which changes signature from Lorentzian to Riemannian across a spatial hypersurface, the mixed Einstein tensor is manifestly non-singular. In Gaussian normal coordinates, the metric contains a step function and the Einstein tensor contains the Dirac delta function with support at the junction. The coefficient of the Dirac function is a linear combination of the second fundamental form (extrinsic curvature) of the junction. Thus, unless the junction has vanishing extrinsic curvature, the physical interpretation of the metric is that it describes a layer of matter (with stresses but no energy or momentum) at the junction. In particular, such metrics do not satisfy the vacuum Einstein equations, nor the Einstein-Klein-Gordon equations and so on. Similarly, the d'Alembertian of a Klein-Gordon field contains the Dirac function with coefficient given by the momentum of the field. Thus, if the momentum of the field does not vanish at the junction, the physical interpretation is that there is a source (with step potential) at the junction. In particular, such fields do not satisfy the massless Klein-Gordon equation. These facts contradict claims in the literature.

研究动机与目标

• 澄清在超曲面上从洛伦兹型到黎曼型度量符号变化的时空度量的物理解释。
• 解决文献中声称此类度量满足真空爱因斯坦方程的矛盾。
• 利用高斯法向坐标分析界面处外曲率和爱因斯坦张量行为的作用。
• 研究此类时空中具有阶跃势的克莱因-高斯登场的含义。
• 证明非零外曲率意味着存在物理物质层，从而否定真空假设。

提出的方法

• 使用高斯法向坐标描述在界面处具有阶跃函数的度量。
• 推导混合爱因斯坦张量，表明其包含一个系数与第二基本形式（外曲率）成正比的狄拉克δ函数。
• 将δ函数的系数识别为外曲率的线性组合，表明在界面处存在物质层。
• 分析克莱因-高斯登场的达朗贝尔算子，表明其包含一个与场动量成正比的狄拉克δ函数。
• 使用分布微积分处理度量的不连续性及其几何与物理后果。
• 与标准真空和爱因斯坦-克莱因-高斯登方程进行比较，表明此类解与之不一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时空度量在超曲面上从洛伦兹型变为黎曼型时，会产生何种物理解释？
• RQ2 为何尽管文献中有相关声称，此类度量仍无法满足真空爱因斯坦方程？
• RQ3 界面处的外曲率如何影响爱因斯坦张量及其所导致的物理内容？
• RQ4 克莱因-高斯登场的动量在确定界面处是否存在源方面起什么作用？
• RQ5 在何种条件下可认为此类度量是相对论性场方程的有效解？

主要发现

• 尽管度量发生符号变化，混合爱因斯坦张量在界面处仍保持非奇异。
• 爱因斯坦张量包含一个狄拉克δ函数，其系数为第二基本形式（外曲率）的线性组合。
• 非零外曲率意味着在界面处存在具有应力但无能量或动量的物理物质层。
• 此类度量不满足真空爱因斯坦方程或爱因斯坦-克莱因-高斯登方程。
• 克莱因-高斯登场的达朗贝尔算子包含一个与场动量成正比的狄拉克δ函数，表明存在阶跃势源。
• 这些结果与文献中声称此类度量代表真空或无质量场解的观点相矛盾。