[论文解读] Signature Methods in Stochastic Portfolio Theory

Christa Cuchiero, Janka Möller|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2023

Risk and Portfolio Optimization被引用 4

一句话总结

本文提出基于排序市场权重签名的线性路径函数投资组合，实现了随机投资组合理论中连续路径依赖投资组合函数的通用逼近。关键贡献在于，签名投资组合可在非马尔可夫模型中任意精确逼近增长最优投资组合，并将复杂优化任务简化为凸二次规划，从而实现高效计算和强样本外表现，即使在存在交易成本的情况下亦然。

ABSTRACT

In the context of stochastic portfolio theory we introduce a novel class of portfolios which we call linear path-functional portfolios. These are portfolios which are determined by certain transformations of linear functions of a collections of feature maps that are non-anticipative path functionals of an underlying semimartingale. As main example for such feature maps we consider the signature of the (ranked) market weights. We prove that these portfolios are universal in the sense that every continuous, possibly path-dependent, portfolio function of the market weights can be uniformly approximated by signature portfolios. We also show that signature portfolios can approximate the growth-optimal portfolio in several classes of non-Markovian market models arbitrarily well and illustrate numerically that the trained signature portfolios are remarkably close to the theoretical growth-optimal portfolios. Besides these universality features, the main numerical advantage lies in the fact that several optimization tasks like maximizing (expected) logarithmic wealth or mean-variance optimization within the class of linear path-functional portfolios reduce to a convex quadratic optimization problem, thus making it computationally highly tractable. We apply our method also to real market data based on several indices. Our results point towards out-performance on the considered out-of-sample data, also in the presence of transaction costs.

研究动机与目标

• 开发一类新型投资组合——线性路径函数投资组合，通过引入市场权重的非预测性路径泛函，对功能生成投资组合进行推广。
• 建立理论通用性：证明任意连续的、路径依赖的市场权重投资组合函数均可被签名投资组合一致逼近。
• 证明在非马尔可夫市场模型中，签名投资组合可任意精确逼近增长最优投资组合。
• 表明诸如对数财富最大化和均值-方差优化等优化任务可简化为凸二次规划，确保计算可处理性。
• 在模拟和真实市场数据（包括S&P500、SMI、NASDAQ）上实证验证该方法，考虑交易成本。

提出的方法

• 作者将线性路径函数投资组合定义为对排序市场权重签名进行线性变换所得，该签名特征映射源自连续半鞅过程。
• 利用签名上线性函数的通用逼近定理，证明此类投资组合可一致逼近任意连续的、路径依赖的市场权重函数。
• 借助Johnson-Lindenstrauss引理降低签名的维度，同时保持逼近质量。
• 将对数财富最大化或均值-方差优化等优化任务重新表述为关于签名系数的凸二次规划。
• 引入正则化方案以考虑比例交易成本，提升样本外测试中的表现。
• 将该方法应用于真实市场指数（SMI、S&P500、NASDAQ），通过凸优化训练投资组合权重，并在样本外财富过程中进行评估。

(a) Black-Scholes market: growth-optimal weights

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机投资组合理论中，基于签名的投资组合能否通用逼近任意连续的、路径依赖的市场权重函数？
• RQ2 在哪些非马尔可夫市场模型类别中，增长最优投资组合可表示为签名投资组合？
• RQ3 在该类线性路径函数投资组合中，对数财富最大化与均值-方差优化等优化任务能否简化为凸二次规划？
• RQ4 在样本外回测中，签名投资组合的表现如何，特别是在存在交易成本的情况下？
• RQ5 针对交易成本的正则化是否能提升签名投资组合在真实市场数据中的鲁棒性与表现？

主要发现

• 签名投资组合实现了对连续路径依赖市场权重函数的通用逼近，其理论依据为签名上线性函数的全局通用逼近定理。
• 在非马尔可夫市场模型中，增长最优投资组合可被签名投资组合任意精确逼近，数值结果表明其与理论最优值极为接近。
• 在S&P500市场中，1%交易成本下带正则化的签名投资组合对数相对财富达到0.2411，优于同等条件下的等权投资组合与全市场投资组合。
• 在SMI指数中，1%交易成本下带正则化的签名投资组合对数财富为0.0402，显著优于全市场投资组合（对数财富：-2.5700），在相同成本水平下。
• 在S&P500市场中，1%交易成本下最优正则化参数β为847.6125，表明正则化对性能提升具有显著敏感性与有效性。
• 在所有测试场景中，包括5%交易成本，正则化均一致提升投资组合表现，签名投资组合在每种情况下均优于全市场投资组合。

(b) Black-Scholes market: signature weights