[论文解读] Signature moments to characterize laws of stochastic processes

Ilya Chevyrev, Harald Oberhauser|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2018

Statistical Methods and Inference参考文献 26被引用 42

一句话总结

论文为路径值数据提出鲁棒特征矩（signature moments），通过鲁棒签名建立通用且具特征性的核，并推导基于MMD的框架来比较随机过程的分布，包括一个两样本检验。

ABSTRACT

The sequence of moments of a vector-valued random variable can characterize its law. We study the analogous problem for path-valued random variables, that is stochastic processes, by using so-called robust signature moments. This allows us to derive a metric of maximum mean discrepancy type for laws of stochastic processes and study the topology it induces on the space of laws of stochastic processes. This metric can be kernelized using the signature kernel which allows to efficiently compute it. As an application, we provide a non-parametric two-sample hypothesis test for laws of stochastic processes.

研究动机与目标

• 使用广义为签名的矩（moments）来刻画路径值随机变量的分布。
• 为路径空间创建一个鲁棒、通用且单射的特征映射，能够刻画其分布。
• 通过鲁棒签名核发展基于核均值嵌入的随机过程分布框架。
• 通过MMD建立随机过程分布的度量拓扑，并将其与弱收敛联系起来。
• 提供一个用于比较随机过程分布的实用两样本检验。

提出的方法

• 引入归一化 λ(x) 以得到鲁棒签名映射 Phi(x)，该映射将张量与归一化结合以对其进行界定。
• 设定 Phi(x) = (lambda(x)^m ∫ dx^{⊗ m})_{m≥0}，并给出其通用性与特征性。
• 定义鲁棒签名核 k(x,y) = ⟨Phi(x), Phi(y)⟩ 并推导相应的分布间MMD距离 d_k。
• 证明 d_k 在分布空间诱导的拓扑在自然假设下弱收敛之下更弱。
• 描述高效的递归算法来计算签名的内积并将其扩展到鲁棒签名。
• 将该框架应用于使用核均值嵌入方法的随机过程分布的非参数两样本检验。

实验结果

研究问题

• RQ1 鲁棒签名矩是否能够唯一确定路径值随机过程的分布？
• RQ2 我们能否为路径空间构建一个对离群值鲁棒的通用且具特征性的特征映射？
• RQ3 如何对签名特征进行核化以获得基于MMD的实用比较？
• RQ4 鲁棒签名MMD在分布空间诱导的拓扑是什么，以及它与弱收敛有何关系？
• RQ5 该框架是否能在实际中支持随机过程分布的非参数两样本检验？

主要发现

• 鲁棒签名特征映射 Phi(x) 提供了对路径分布的通用且具特征性的表示。
• 鲁棒签名核 k(x,y) 提供了随机过程分布的核均值嵌入。
• 引致的 MMD 距离 d_k 在分布间是一种度量，产生一个比弱收敛弱但相关的拓扑。
• 存在高效的递归算法来计算鲁棒签名的内积，使高维或一般空间中的实际计算成为可能。
• 框架使得使用核均值嵌入方法对随机过程分布进行非参数两样本检验成为可能。
• 归一化对确保通用性与特征性至关重要；否则鲁棒特征可能无法实现通用性或刻画分布。）