[论文解读] Signature pairs of positive polynomials

Jennifer Halfpap, Jiř́í Lebl|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文建立了在乘以 $\|z\|^{2d}$ 后成为平方范数的双齐次多项式，其负号对与正号对之比的有效界，对 $d=1$ 证明了精确界，对 $d>1$ 得到了最优阶的界。结果表明，此类多项式类 $\Psi_d$ 随 $d$ 严格递增，并给出了随 $C_n d^{n-1}$ 增长的 $N_-/N_+$ 比值的显式下界，确认了在固定 $n$ 时该比值关于 $d$ 的正确渐近阶。本研究通过量化使正性蕴含赫尔米特平方和结构所需的最小 $d$，对奎伦定理进行了细化。

ABSTRACT

A well-known theorem of Quillen says that if $r(z,\bar{z})$ is a bihomogeneous polynomial on ${\mathbb{C}}^n$ positive on the sphere, then there exists $d$ such that $r(z,\bar{z}){\lVert z Vert}^{2d}$ is a squared norm. We obtain effective bounds relating this $d$ to the signature of $r$. We obtain the sharp bound for $d=1$, and for $d > 1$ we obtain a bound that is of the correct order as a function of $d$ for fixed $n$. The current work adds to an extensive literature on positivity classes for real polynomials. The classes $Ψ_d$ of polynomials for which $r(z,\bar{z}){\lVert z Vert}^{2d}$ is a squared norm interpolate between polynomials positive on the sphere and those that are Hermitian sums of squares.

研究动机与目标

• 量化使在球面上正的双齐次多项式在乘以 $\|z\|^{2d}$ 后成为赫尔米特平方和的最小 $d$，通过有效界扩展奎伦定理。
• 确定 $\Psi_d$ 中多项式负号对与正号对之比 $N_-/N_+$ 的精确上界，特别是针对 $d=1$ 和 $d>1$ 的情形。
• 证明类 $\Psi_d$ 严格递增：$\Psi_0 \subsetneq \Psi_1 \subsetneq \Psi_2 \subsetneq \cdots$，通过构造 $\Psi_{d+1} \setminus \Psi_d$ 中的显式例子。
• 建立在固定 $n$ 时，$N_-/N_+$ 比值关于 $d$ 的正确渐近阶，证明其增长为 $\Theta(d^{n-1})$。

提出的方法

• 将正性类 $\Psi_d$ 定义为满足 $r(z,\bar{z})\|z\|^{2d}$ 是赫尔米特平方和的双齐次多项式 $r$。
• 利用实多项式的签名对 $(N_+, N_-)$ 来刻画其分解为正负赫尔米特平方和的结构。
• 在多项式 $p \cdot \ell^d$ 的系数空间中使用归纳构造法，其中 $\ell$ 为线性形式，以控制乘积中系数的符号模式。
• 构造具有受控负正系数模式的多项式 $p$，在按 $x_2$ 的幂次分层的结构中，确保 $p \cdot \ell^d$ 在 $d$ 次幂时具有非负系数，同时最大化 $N_-/N_+$。
• 采用递归策略：对 $d>1$，在系数图中交替设置正负层，仅在每第 $\nu$ 层放置正系数，以优化 $N_-/N_+$ 比值。
• 通过归纳法证明下界 $C_n d^{n-1}$，利用递推关系 $C_n = C_{n-1}/2^{n-1}$ 及初始值 $C_2 = 1/2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\Psi_1$ 中的多项式，$N_-/N_+$ 的精确上界是什么？
• RQ2 当 $d > 1$ 时，对于固定的 $n$，$N_-/N_+$ 的最大比值关于 $d$ 的正确渐近阶是什么？
• RQ3 类 $\Psi_d$ 是否可严格分离，即是否对所有 $d \geq 0$ 都有 $\Psi_d \subsetneq \Psi_{d+1}$？
• RQ4 如何有效构造 $\Psi_{d+1} \setminus \Psi_d$ 中的多项式以证明严格包含关系？
• RQ5 使球面上正的多项式属于 $\Psi_d$ 的最小 $d$ 是多少？其依赖于其签名的何种方式？

主要发现

• 当 $d=1$ 时，$N_-/N_+ < n-1$ 的界是精确的，且对任意 $\varepsilon > 0$，存在多项式满足 $N_-/N_+ \geq n-1 - \varepsilon$。
• 当 $d > 1$ 时，不等式 $N_-/N_+ \leq \binom{n-1+d}{d} - 1$ 成立，且该界在固定 $n$ 时具有正确的阶 $\Theta(d^{n-1})$。
• 存在常数 $C_n > 0$，使得对每个 $d$，存在 $\Psi_d$ 中的多项式满足 $N_-/N_+ \geq C_n d^{n-1}$，从而证明该界在阶上是最优的。
• 类 $\Psi_d$ 严格递增：$\Psi_0 \subsetneq \Psi_1 \subsetneq \cdots$，通过构造所有 $d$ 的 $\Psi_{d+1} \setminus \Psi_d$ 中的多项式得以证明。
• 常数 $C_n$ 的渐近增长率为 $C_n = 1/2^{n(n-1)/2}$，由递推关系 $C_n = C_{n-1}/2^{n-1}$ 及 $C_2 = 1/2$ 推导得出。
• 通过分层系数模式与交替正系数层的构造方法，实现了 $N_-/N_+$ 比值的最优 $d^{n-1}$ 增长率。