[论文解读] Signature SDEs from an affine and polynomial perspective

Christa Cuchiero, Sara Svaluto‐Ferro+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2023

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文引入了签名随机微分方程（SDEs），作为一类通用的路径相关伊藤过程，其动力学由自身签名的完整函数或实解析函数驱动。通过将过程提升至张量代数，并证明其在群-like 元素上构成仿射或多项式过程，作者通过里卡蒂微分方程和线性常微分方程，推导出傅里叶-拉普拉斯变换及全函数期望值的显式幂级数展开，从而实现对路径的完整刻画。

ABSTRACT

Signature stochastic differential equations (SDEs) constitute a large class of stochastic processes, here driven by Brownian motions, whose characteristics are linear maps of their own signature, i.e. of iterated integrals of the process with itself, and allow therefore for a generic path dependence. We show that their prolongation with the corresponding signature is an affine and polynomial process taking values in the set of group-like elements of the extended tensor algebra. By relying on the duality theory for affine or polynomial processes, we obtain explicit formulas in terms of converging power series for the Fourier-Laplace transform and the expected value of entire functions of the signature process' marginals. The coefficients of these power series are solutions of extended tensor algebra valued Riccati and linear ordinary differential equations (ODEs), respectively, whose vector fields can be expressed in terms of the characteristics of the corresponding SDEs. We thus construct a class of stochastic processes which is universal (in a sense specified in the introduction) within Ito-diffusions with path-dependent characteristics and allows for an explicit characterization of the Fourier-Laplace transform and hence the full law on path space. The practical applicability of this affine and polynomial approach is illustrated by several numerical examples.

研究动机与目标

• 建立基于签名 SDEs 的路径相关伊藤过程的通用框架。
• 证明此类 SDE 的签名过程在扩展张量代数中构成仿射或多项式过程。
• 为路径空间上全函数的傅里叶-拉普拉斯变换和期望值推导出显式的幂级数表示。
• 通过仿射与多项式过程的对偶理论，统一分析路径相关过程。
• 通过数值示例和一维特殊情况，证明方法的实际可行性。

提出的方法

• 将签名 SDE 提升至扩展张量代数，使过程取值于群-like 元素。
• 通过在对偶空间上验证所需的生成元条件，证明延长过程为仿射或多项式过程。
• 利用仿射与多项式过程的对偶理论，推导傅里叶-拉普拉斯变换的显式公式，表示为幂级数。
• 证明该幂级数的系数满足扩展的里卡蒂常微分方程（仿射情形）或线性常微分方程（多项式情形）。
• 将这些常微分方程的向量场表示为原始签名 SDE 的全特征函数。
• 将该框架应用于具有实解析特征的一维 SDE，作为特例恢复经典结果。

Figure 1: ${\mathbb{E}}[\exp(-\exp(X_{t}))]$ computed with Scheme 6.3 for $K=20$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过签名延拓，将签名 SDE 嵌入仿射或多项式过程类别？
• RQ2 签名过程的傅里叶-拉普拉斯变换是否存在显式公式？
• RQ3 此类过程在路径空间上全函数的期望值如何表征？
• RQ4 在仿射与多项式情形下，幂级数展开的系数由何种常微分方程系统控制？
• RQ5 该框架如何在一维实解析情形下恢复经典结果？

主要发现

• 签名 SDE 的签名过程在扩展张量代数中为仿射或多项式过程，取值于群-like 元素。
• 傅里叶-拉普拉斯变换具有显式幂级数展开，其系数由 SDE 特征函数导出的里卡蒂常微分方程控制。
• 在多项式情形下，路径空间上全函数的期望值由系数满足线性常微分方程的幂级数表征。
• 该框架在一维情形下恢复经典结果，此时签名 SDE 退化为具有实解析漂移与扩散系数的经典 SDE。
• 数值示例验证了该方法的实际可行性，包括对一维布朗运动中里卡蒂常微分方程的求解。
• 对偶理论使得通过这些显式级数表示，对路径空间上的概率律实现完整刻画。

Figure 2: ${\mathbb{E}}[\exp(-X_{t}^{4}/4!)]$ computed with Scheme 6.3 for different $K$ s. The approximations ${\mathbb{E}}[\exp(-X_{t}^{4}/4!)]$ of are just represented until their explosion time.