[论文解读] Signatures of a quantum phase transition on a single-mode bosonic model

Emmanouil Grigoriou, Carlos Navarrete–Benlloch|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2023

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 4

一句话总结

本文证明，即使缺乏空间延展性，单模玻色哈密顿量仍可表现出二级量子相变，其关键在于热力学极限（定义为无限维希尔伯特空间）在基态能量中诱导出非解析行为。该模型表现出与量子Rabi模型和Lipkin-Meshkov-Glick模型相同的临界指数和标度律，确认其属于同一普遍性类，同时揭示在L较大时量子涨落消失，导致热力学极限与经典极限相重合。

ABSTRACT

Equilibrium phase transitions usually emerge from the microscopic behavior of many-body systems and are associated to interesting phenomena such as the generation of long-range order and spontaneous symmetry breaking. They can be defined through the non-analytic behavior of thermodynamic potentials in the thermodynamic limit. This limit is obtained when the number of available configurations of the system approaches infinity, which is conventionally associated to spatially-extended systems formed by an infinite number of degrees of freedom (infinite number of particles or modes). Taking previous ideas to the extreme, we argue that such a limit can be defined even in non-extended systems, providing a specific example in the simplest form of a single-mode bosonic Hamiltonian. In contrast to previous non-extended models, the simplicity of our model allows us to find approximate analytical expressions that can be confronted with precise numerical simulations in all the parameter space, particularly as close to the thermodynamic limit as we want. We are thus able to show that the system undergoes a change displaying all the characteristics of a second-order phase transition as a function of a control parameter. We derive critical exponents and scaling laws revealing the universality class of the model, which coincide with that of more elaborate non-extended models such as the quantum Rabi or Lipkin-Meshkov-Glick models. Analyzing our model, we are also able to offer insights into the features of this type of phase transitions, by showing that the thermodynamic and classical limits coincide. In other words, quantum fluctuations must be tamed in order for the system to undergo a true phase transition.

研究动机与目标

• 通过将热力学极限重新定义为希尔伯特空间维度趋于无穷，研究非扩展系统（如单模玻色系统）中是否可能出现量子相变。
• 确定此类系统是否表现出二级相变的标志性特征，包括基态能量的非解析性以及关联长度发散。
• 推导临界指数和标度律，以识别该最小模型中相变的普遍性类。
• 澄清在缺乏空间延展性的条件下，量子系统中热力学极限与经典极限之间的关系。

提出的方法

• 研究采用具有控制参数的单模玻色哈密顿量，其中热力学极限并非通过无限粒子数或系统尺寸定义，而是通过L → ∞时希尔伯特空间维度趋于无穷来定义。
• 采用正P表示法，将冯诺依曼方程映射为在具有独立复变量α和α⁺的扩展相空间中的福克-普朗克方程。
• 从福克-普朗克形式推导出随机朗之万方程，从而实现无需近似的量子动力学精确模拟。
• 引入归一化变量β = α/√L和β⁺ = α⁺/√L以分析L → ∞极限，表明噪声项消失，系统变为确定性演化。
• 在全参数空间内，通过解析近似与精确数值模拟进行比较，尤其关注热力学极限附近区域。
• 通过分析临界点附近基态能量和序参量的行为，提取临界指数和标度律。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无空间延展性或无限粒子数的非扩展系统（如单模玻色模型）中，是否可能发生量子相变？
• RQ2 由希尔伯特空间维度无穷大（L → ∞）定义的热力学极限是否会在基态能量中引发非解析行为，从而标志相变发生？
• RQ3 该相变的临界指数和标度律为何？与量子Rabi模型或Lipkin-Meshkov-Glick模型等已知模型相比有何异同？
• RQ4 在该模型中，热力学极限是否等价于经典极限？这对量子涨落的作用有何启示？

主要发现

• 单模玻色模型在控制参数变化时表现出二级量子相变，其特征为在临界点处基态能量出现非解析性。
• 所推导的临界指数和标度律与量子Rabi模型和Lipkin-Meshkov-Glick模型完全一致，表明该系统属于同一普遍性类。
• 在L → ∞极限下，朗之万方程中的随机噪声项消失，系统演化变为确定性，相干态得以保持。
• 该模型表明热力学极限与经典极限等价，因为在大L区域中量子涨落被抑制。
• 该模型允许精确的解析近似，且在全参数空间（包括接近热力学极限区域）内均与数值模拟结果高度吻合。
• 本研究证实，即使在最小化、非扩展系统中，只要希尔伯特空间维度趋于无穷，相变的本质特征（如长程序和临界标度）仍可出现。