[论文解读] Signed graph embedding: when everybody can sit closer to friends than enemies

Anne-Marie Kermarrec, Christopher Thraves|arXiv (Cornell University)|May 20, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的有符号图嵌入模型，其中每个顶点在欧几里得空间中被放置得比其负向（敌对）邻居更接近其正向（友好）邻居。论文证明，对于完全有符号图，当且仅当其正子图是弦图时，存在有效的1维嵌入，并提供了O(n²)时间复杂度的算法来判定并构造此类嵌入，突破了传统平衡性和可聚类性假设的限制。

ABSTRACT

Signed graphs are graphs with signed edges. They are commonly used to represent positive and negative relationships in social networks. While balance theory and clusterizable graphs deal with signed graphs to represent social interactions, recent empirical studies have proved that they fail to reflect some current practices in real social networks. In this paper we address the issue of drawing signed graphs and capturing such social interactions. We relax the previous assumptions to define a drawing as a model in which every vertex has to be placed closer to its neighbors connected via a positive edge than its neighbors connected via a negative edge in the resulting space. Based on this definition, we address the problem of deciding whether a given signed graph has a drawing in a given $\ell$-dimensional Euclidean space. We present forbidden patterns for signed graphs that admit the introduced definition of drawing in the Euclidean plane and line. We then focus on the $1$-dimensional case, where we provide a polynomial time algorithm that decides if a given complete signed graph has a drawing, and constructs it when applicable.

研究动机与目标

• 为解决传统平衡性和可聚类性在建模现实世界社交网络时的局限性，即并非所有三元组都满足平衡性。
• 基于对朋友与敌人相对接近度的考量，形式化定义有符号图有效绘图的新概念。
• 确定有符号图可被嵌入1维欧几里得空间的条件，使得每个顶点到其正向邻居的距离更近。
• 为完全有符号图设计一种高效算法，以多项式时间判定并构造此类嵌入。

提出的方法

• 将有效绘图定义为在欧几里得空间中的顶点排列，使得每个顶点到其正向邻居的距离小于到负向邻居的距离。
• 将问题简化为检查正子图是否为弦图，并且是否存在满足两个结构条件的完美消除序。
• 通过将正子图各连通分量的完美消除序连接起来，构造全局顶点序。
• 基于顶点序应用构造性嵌入方法，将位置分配至1维空间。
• 利用已知的线性时间算法进行弦图判定与完美消除序计算。
• 证明满足条件(i)和(ii)的此类序的存在性，是实现有效1维嵌入的充要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为有符号图定义一种更具弹性的嵌入模型，以更好地反映超越结构平衡或可聚类性的现实社交网络动态？
• RQ2 完全有符号图在何种充要条件下可实现有效1维嵌入，使得朋友比敌人更接近？
• RQ3 此类嵌入的判定问题是否可在多项式时间内求解？若是，其时间复杂度是多少？
• RQ4 有符号图中的禁止模式与1维欧几里得空间中的度量嵌入约束有何关联？
• RQ5 该嵌入模型能否推广至非完全图或非欧几里得度量空间？

主要发现

• 当且仅当其正子图是弦图且存在满足两个结构条件的完美消除序时，完全有符号图才可实现有效1维嵌入。
• 此类序的存在性可确保在最终1维布局中，每个顶点到其正向邻居的距离小于到负向邻居的距离。
• 此类嵌入的判定与构造可在O(n²)时间内完成，使完全有符号图的该问题具有可解性。
• 本文识别出阻止实现有效1维绘图的有符号图中的禁止模式，其范围超越了平衡理论中的经典禁止三角形。
• 对于任意有符号图（不一定是完全图）的一般判定问题为NP完全，如Cygan等人后续所证明，凸显了完全性假设的重要性。
• 所提出的模型放宽了对平衡性和可聚类性的严格要求，为网络嵌入中的社交互动提供了更真实的表示。