[论文解读] Signed Simplicial Decomposition and Overlay of n-D Polytope Complexes

Norbert W. Paul|arXiv (Cornell University)|May 25, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出了一种组合的、与几何无关的方法，通过带符号的单纯形分解对n维多胞形复形进行叠加，无需显式三角剖分即可高效计算复杂交集。该方法将非凸多胞形分解为有向单纯形，通过简化的活动集方法计算其交集，并利用带符号的环绕数重新组合结果，实现了与维度无关的叠加，显著降低了几何复杂度。

ABSTRACT

Polytope complexes are the generalisation of polygon meshes in geo-information systems (GIS) to arbitrary dimension, and a natural concept for accessing spatio-temporal information. Complexes of each dimension have a straight-forward dimension-independent database representation called "Relational Complex". Accordingly, complex overlay is the corresponding generalisation of map overlay in GIS to arbitrary dimension. Such overlay can be computed by partitioning the cells into simplices, intersecting these and finally combine their intersections into the resulting overlay complex. Simplex partitioning, however, can expensive in dimension higher than 2. In the case of polytope complex overlay /signed/ simplicial decomposition is an alternative. This paper presents a purely combinatoric polytope complex decomposition which ignores geometry. In particular, this method is also a decomposition method for /non-convex/ polytopes. Geometric n-D-simplex intersection is then done by a simplified active-set-method---a well-known numerical optimisation method. "Summing" up the simplex intersections then yields the desired overlay complex.

研究动机与目标

• 解决n维地图叠加操作中几何三角剖分带来的高计算成本问题。
• 在空间数据库中实现对非凸多胞形复形的高效、与维度无关的叠加。
• 开发一种绕过几何复杂度但保持拓扑正确性的组合分解方法。
• 通过关系数据模型与拓扑关联关系，将二维地图叠加推广至高维空间。
• 为GIS及3D/4D建模中的时空与多维空间分析提供可扩展的框架。

提出的方法

• 采用完全基于组合的n维多胞形带符号单纯形分解，独立于几何嵌入。
• 应用带符号环绕数通过各单纯形环绕数的乘积确定单元交集。
• 采用简化的活动集方法计算n维空间中n单纯形的几何交集。
• 通过反转分解过程中使用的态射，重构最终的叠加复形。
• 利用关联图数据模型在关系数据库模式中表示多胞形复形。
• 应用边界算子计算单纯形交集的带符号贡献，确保拓扑一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非凸多胞形复形能否在不进行几何计算的情况下实现组合分解？
• RQ2 如何在不进行完整几何三角剖分的前提下高效计算n维复杂叠加？
• RQ3 带符号单纯形分解在实现与维度无关的空间操作中起到何种作用？
• RQ4 环绕数的乘积能否可靠识别n维复形中非空的单元交集？
• RQ5 能否通过预先识别来避免计算冗余的单纯形-单纯形交集？

主要发现

• 该方法通过基于关联图的关系数据库模式，实现了与维度无关的n维多胞形复形叠加。
• 带符号单纯形分解通过为单纯形分配方向系数，能够正确处理非凸多胞形。
• n单纯形的几何交集通过简化的活动集方法计算，减少了对完整数值优化的依赖。
• 组件单纯形环绕数的乘积能正确识别两单元交集中的点，从而实现稳健的交集检测。
• 通过反转分解态射实现最终叠加复形的重构，保持了拓扑结构。
• 该方法通过使用组合分解而非几何三角剖分，避免了三角剖分数量的超指数增长（例如，n维立方体的三角剖分可达n!个单纯形）。