[论文解读] Signless Laplacian spectral radius and matching in graphs

Chang Liu, Yingui Pan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Graph theory and applications参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过无符号拉普拉斯谱半径，建立了偶数阶连通图中完美匹配的精确谱条件。证明了若无符号拉普拉斯矩阵的最大特征值超过特定阈值——当 $ n \geq 10 $ 或 $ n = 4 $ 时，该阈值为一个三次方程的最大根；当 $ n = 6 $ 和 $ n = 8 $ 时，使用显式值——则图必然存在完美匹配，且该界是紧致的，因为极值图如 $ K_{n-3}\vee K_1\vee \overline{K_2} $ 达到了该阈值但不包含完美匹配。

ABSTRACT

The signless Laplacian matrix of a graph $G$ is given by $Q(G)=D(G)+A(G)$, where $D(G)$ is a diagonal matrix of vertex degrees and $A(G)$ is the adjacency matrix. The largest eigenvalue of $Q(G)$ is called the signless Laplacian spectral radius, denoted by $q_1=q_1(G)$. In this paper, some properties between the signless Laplacian spectral radius and perfect matching in graphs are establish. Let $r(n)$ be the largest root of equation $x^3-(3n-7)x^2+n(2n-7)x-2(n^2-7n+12)=0$. We show that $G$ has a perfect matching for $n=4$ or $n\geq10$, if $q_1(G)>r(n)$, and for $n=6$ or $n=8$, if $q_1(G)>4+2\sqrt{3}$ or $q_1(G)>6+2\sqrt{6}$ respectively, where $n$ is a positive even integer number. Moreover, there exists graphs $K_{n-3}\vee K_1 \vee \overline{K_2}$ such that $q_1(K_{n-3}\vee K_1 \vee \overline{K_2})=r(n)$ if $n\geq4$, a graph $K_2\vee\overline{K_4}$ such that $q_1(K_2\vee\overline{K_4})=4+2\sqrt{3}$ and a graph $K_3\vee\overline{K_5}$ such that $q_1(K_3\vee\overline{K_5})=6+2\sqrt{6}$. These graphs all have no prefect matching.

研究动机与目标

• 基于无符号拉普拉斯谱半径，确定偶数阶连通图中完美匹配存在的充分谱条件。
• 通过聚焦于无符号拉普拉斯矩阵而非邻接矩阵或拉普拉斯矩阵，拓展先前关于匹配谱条件的研究。
• 识别出在不包含完美匹配的情况下仍达到谱阈值的极值图，从而证明该界的紧致性。
• 通过引入统一的谱阈值，推广先前关于边数和谱半径的研究结果。

提出的方法

• 定义无符号拉普拉斯矩阵 $ Q(G) = D(G) + A(G) $，其中 $ D(G) $ 为度矩阵，$ A(G) $ 为邻接矩阵。
• 引入 $ r(n) $，即三次方程 $ x^3 - (3n-7)x^2 + n(2n-7)x - 2(n^2 - 7n + 12) = 0 $ 的最大根，作为 $ n \geq 10 $ 或 $ n = 4 $ 时的谱阈值。
• 对于 $ n = 6 $ 和 $ n = 8 $，分别使用显式值 $ 4 + 2\sqrt{3} $ 和 $ 6 + 2\sqrt{6} $ 作为阈值。
• 应用无符号拉普拉斯矩阵的均衡划分，计算极值图如 $ K_{n-3} \vee K_1 \vee \overline{K_2} $、$ K_2 \vee \overline{K_4} $ 和 $ K_3 \vee \overline{K_5} $ 的谱半径。
• 利用交错性质和非负矩阵理论比较谱半径，建立界值的紧致性。
• 验证极值图的谱半径等于阈值，确认满足该界值的图仍可能不包含完美匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 在偶数阶连通图中，无符号拉普拉斯谱半径的何种谱条件可保证完美匹配的存在？
• RQ2 谱阈值如何随顶点数变化，特别是对较小的偶数 $ n $？
• RQ3 是否存在达到谱阈值但不包含完美匹配的极值图，从而证明该界值的紧致性？
• RQ4 对于 $ n \geq 4 $，连通图 $ K_{n-3} \vee K_1 \vee \overline{K_2} $ 的谱半径如何与阈值 $ r(n) $ 相关？
• RQ5 为何 $ n = 6 $ 和 $ n = 8 $ 的阈值不同于通用公式 $ r(n) $，其推导方式为何？

主要发现

• 对于偶数 $ n \geq 4 $，若 $ q_1(G) > r(n) $，其中 $ r(n) $ 为三次方程 $ x^3 - (3n-7)x^2 + n(2n-7)x - 2(n^2 - 7n + 12) = 0 $ 的最大根，则当 $ n \geq 10 $ 或 $ n = 4 $ 时，图 $ G $ 包含完美匹配。
• 当 $ n = 6 $ 时，阈值为 $ 4 + 2\sqrt{3} \approx 7.464 $，若 $ q_1(G) $ 超过此值，则 $ G $ 包含完美匹配。
• 当 $ n = 8 $ 时，阈值为 $ 6 + 2\sqrt{6} \approx 10.899 $，超过该值可确保存在完美匹配。
• 该界是紧致的：存在如 $ K_{n-3} \vee K_1 \vee \overline{K_2} $ 的图，其 $ q_1(G) = r(n) $ 但不包含完美匹配。
• $ K_2 \vee \overline{K_4} $ 的谱半径恰好为 $ 4 + 2\sqrt{3} $，$ K_3 \vee \overline{K_5} $ 的谱半径恰好为 $ 6 + 2\sqrt{6} $，证实了特殊情形阈值的紧致性。
• 极值图 $ K_{n-3} \vee K_1 \vee \overline{K_2} $、$ K_2 \vee \overline{K_4} $ 和 $ K_3 \vee \overline{K_5} $ 达到谱阈值且不包含完美匹配，证明该界无法进一步改进。