[论文解读] Similarity, Codepth Two Bicomodules and QF Bimodules

Florencio Castaño Iglesias, Lars Kadison|ArXiv.org|Dec 28, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文证明了在 $k$-余代数上，相似的拟有限余模具有强等价的余自同态余代数，推广了 Hirata 关于自同态环的 Morita 等价结果。本文引入了余深度二双余模的概念，并将其应用于 QF 双模与环扩张，证明了对于 QF 扩张，左余深度二与右余深度二等价，并通过可分性与余深度二特性刻画了余深度三。

ABSTRACT

For any k-coalgebra C it is shown that similar quasi-finite C-comodules have strongly equivalent coendomorphism coalgebras; (the converse is in general not true). As an application we give a general result about codepth two coalgebra homomorphisms. Also a notion of codepth two bicomodule is introduced. The last section applies similarity to an endomorphism ring theorem for quasi-Frobenius (QF) bimodules and then to finite depth ring extensions. For QF extensions, we establish that left and right depth two are equivalent notions as well as a converse endomorphism theorem, and characterize depth three in terms of separability and depth two.

研究动机与目标

• 将 Hirata 关于自同态环 Morita 等价的结果推广到余代数与余模的语境中。
• 定义并研究余深度二双余模，及其在刻画余深度二余代数同态中的作用。
• 通过双模的相似性，将关于 Frobenius 扩张的结果推广到拟 Frobenius（QF）扩张。
• 建立 QF 扩张中左余深度二与右余深度二条件的等价性，并通过可分性与余深度二特性刻画余深度三。
• 证明对于 QF 扩张，张量平方与它的自同态环相似，从而可将 Frobenius 到 QF 扩张的余深度结果进行推广。

提出的方法

• 通过有限次幂之间的相互直和项定义余模的相似性，将模论中的概念扩展到余模。
• 利用拟有限余模 $M$ 的余自同态余代数构造 $e_{-C}(M) = \text{h}_{-C}(M,M)$，将相似性与余代数的强等价性联系起来。
• 引入余深度二双余模的概念，并证明余代数同态 $\varphi: C \to D$ 是余深度二当且仅当 ${}_D C_C$ 是一个余深度二双余模。
• 将余自同态余代数与相似性的理论应用于 QF 双模，证明了 QF 双模的自同态环定理。
• 利用可分性与相似性技术，证明一个 QF 扩张是余深度三当且仅当它是可分的，且其自同态环扩张 $E/B$ 是余深度二的。
• 将该理论应用于环扩张，表明对于 QF 扩张，左余深度二与右余深度二等价，并且通过迭代自同态环构造，余深度 $n$ 扩张可嵌入余深度二扩张中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，余代数上的相似拟有限余模具有强等价的余自同态余代数？
• RQ2 余深度二的概念如何从余代数同态推广到双余模？其意义是什么？
• RQ3 能否通过双模的相似性建立 QF 双模的自同态环定理？
• RQ4 QF 环扩张中左余深度二与右余深度二条件是否等价？若等价，其条件为何？
• RQ5 能否通过其自同态环扩张的可分性与余深度二特性来刻画余深度三的 QF 扩张？

主要发现

• 若两个拟有限 $C$-余模相似，则它们的余自同态余代数在 Lin 的意义下是强等价的。
• 余代数同态 $\varphi: C \to D$ 是余深度二当且仅当双模 ${}_D C_C$ 是一个余深度二双余模。
• 对于 QF 环扩张 $A/B$，左余深度二与右余深度二条件是等价的。
• QF 扩张 $A/B$ 是余深度三当且仅当它是可分的，且扩张 $E/B$（其中 $E = \mathrm{End}\, A_B$）是余深度二的。
• 在 QF 扩张中，张量平方 $A \otimes_B A$ 作为 $(A,A)$-双模与它的自同态环 $E$ 相似。
• 任意余深度 $n$ 的 QF 扩张 $A/B$ 可通过迭代自同态环构造嵌入余深度二扩张中，且当 $m \geq n-2$ 充分大时，$E_m/B$ 是余深度二的。