[论文解读] Simple digital quantum algorithm for symmetric first order linear hyperbolic systems

François Fillion‐Gourdeau, Emmanuel Lorin|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于储层方法与交替方向算子分裂法的数字量子算法，用于求解对称一阶线性双曲型系统。通过将格式简化为简单的酉变换，该算法在时间演化方面相比经典方法实现了指数加速，尽管由于振幅编码的存在，测量需要后处理。

ABSTRACT

This paper is devoted to the derivation of a digital quantum algorithm for the Cauchy problem for symmetric first order linear hyperbolic systems, thanks to the reservoir technique. The reservoir technique is a method designed to avoid artificial diffusion generated by first order finite volume methods approximating hyperbolic systems of conservation laws. For some class of hyperbolic systems, namely those with constant matrices in several dimensions, we show that the combination of i) the reservoir method and ii) the alternate direction iteration operator splitting approximation, allows for the derivation of algorithms only based on simple unitary transformations, thus perfectly suitable for an implementation on a quantum computer. The same approach can also be adapted to scalar one-dimensional systems with non-constant velocity by combining with a non-uniform mesh. The asymptotic computational complexity for the time evolution is determined and it is demonstrated that the quantum algorithm is more efficient than the classical version. However, in the quantum case, the solution is encoded in probability amplitudes of the quantum register. As a consequence, as with other similar quantum algorithms, a post-processing mechanism has to be used to obtain general properties of the solution because a direct reading cannot be performed as efficiently as the time evolution.

研究动机与目标

• 开发一种用于对称一阶线性双曲型系统的量子算法，以利用量子加速优势。
• 通过储层技术消除数值格式中的人工扩散，确保稳定性和准确性。
• 通过算子分裂将格式简化为酉操作，实现高效的量子实现。
• 在时间演化复杂度方面，展示相对于经典方法的计算优势。
• 识别在振幅编码限制下，量子优势仍能保持的条件。

提出的方法

• 将储层方法应用于双曲系统有限体积格式，以消除人工扩散。
• 采用交替方向迭代算子分裂法，将多维问题分解为顺序的一维更新。
• 将所得格式重述为一系列传输操作，这些操作在量子寄存器上实现为酉变换。
• 振幅编码使用离散基将解波函数映射到量子态振幅上。
• 通过类似Trotter的分解将演化算子近似为酉门序列。
• 对于一维中非恒定速度的情况，结合非均匀网格与储层方法，以保持精度和酉性。

实验结果

研究问题

• RQ1 储层方法能否与算子分裂结合，用于构建对称双曲型系统的酉量子算法？
• RQ2 与经典有限体积格式相比，该量子时间演化的计算复杂度如何？
• RQ3 该算法如何处理一维标量系统中的非恒定速度？
• RQ4 将该方法推广至非对称或空间依赖矩阵时存在哪些限制？
• RQ5 尽管需要后处理以提取解的性质，该量子算法能否实现指数加速？

主要发现

• 该算法将对称双曲型系统的求解简化为一系列酉操作，使其适用于量子实现。
• 对于多维中对称常数矩阵，该方法在时间演化复杂度上相比经典有限体积格式实现了指数加速。
• 与经典版本相比，该量子算法的渐近计算复杂度表现出有利的缩放特性，尽管测量成本仍为O(N)量级。
• 通过非均匀网格，该方法被推广至一维标量系统中非恒定速度的情况，同时保持了酉性和精度。
• 对于非恒定或非对称矩阵，该方法需要非酉操作，这在量子硬件上实现更具挑战性。
• 该方法凸显了平移算子以及空间位移高效实现的重要性，有助于将该方法推广至更广泛的线性PDE问题。