[论文解读] Simple finite group schemes and their infinitesimal deformations

Filippo Viviani|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用 10

一句话总结

本文通过将问题约化为在正特征下对单有限群和单受限李代数的分类，对代数闭域上的单有限群概形进行了分类。结果表明，与经典李代数相关的群概形是刚性的，但与Cartan型李代数相关的群概形则存在非平凡的无穷小形变，本文显式计算了其第二受限上同调群，并给出了这些形变的生成元。

ABSTRACT

We show that the classification of simple finite group schemes over an algebraically closed field reduces to the classification of abstract simple finite groups and of simple restricted Lie algebras in positive characteristic. Both these two simple objects have been classified. We review this classification. Finally, we address the problem of determining the infinitesimal deformations of simple finite group schemes.

研究动机与目标

• 对正特征代数闭域上的单有限群概形进行分类。
• 确定此类群概形是否为刚性或存在非平凡的无穷小形变。
• 计算Cartan型单受限李代数的第二受限上同调群 $ H^2_{*}(rak{g}, rak{g}) $。
• 将对形变的理解从经典李代数扩展到更复杂的Cartan型情形。
• 为单有限群概形识别障碍空间和半普遍形变空间。

提出的方法

• 将单有限群概形的分类约化为正特征下抽象单有限群和单受限李代数的分类。
• 利用有限群概形在正特征下可分解为一个 étale 群概形与一个高度为一的连通群概形的扩张这一结构定理。
• 通过 $ G \mapsto G(k) $ 建立 étale 群概形与有限抽象群之间的等价关系，通过伴随表示建立高度为一的群概形与受限李代数之间的等价关系。
• 通过第二受限上同调群 $ H^2_{*}(rak{g}, rak{g}) $ 计算无穷小形变，该群参数化与 $ rak{g} $ 相关的群概形的形变。
• 利用受限上同调与普通李代数上同调之间的谱序列，特别是低阶群的情形。
• 利用经典李代数刚性已知结果，并通过 [34] 中的显式上同调计算将其推广至Cartan型代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征代数闭域上，单有限群概形是否由其底层抽象有限群和受限李代数完全分类？
• RQ2 与Cartan型单受限李代数相关的群概形是否存在非平凡的无穷小形变？
• RQ3 对于Cartan型单受限李代数，第二受限上同调群 $ H^2_{*}(rak{g}, rak{g}) $ 的维数是多少？
• RQ4 Cartan型群概形的形变空间与经典型群概形的形变空间有何不同？
• RQ5 能否为单有限群概形计算障碍空间 $ H^3(G, rak{g}) $ 和半普遍形变空间？

主要发现

• 单有限群概形的分类可约化为正特征下单有限群和单受限李代数的分类。
• 与单有限群及经典型李代数相关的群概形在特征 $ p \geq 5 $ 下是刚性的，但在 $ p = 2,3 $ 时不为刚性。
• 对于Cartan型李代数，第二受限上同调群 $ H^2_{*}(rak{g}, rak{g}) $ 非平凡，表明存在非平凡的无穷小形变。
• 显式计算了维数：$ h^2_*(W(m;\underline{1}), W(m;\underline{1})) = m $，$ h^2_*(S(m;\underline{1}), S(m;\underline{1})) = m $，$ h^2_*(H(2r;\underline{1}), H(2r;\underline{1})) = 2r+1 $，$ h^2_*(K(2r+1;\underline{1}), K(2r+1;\underline{1})) = 2r+1 $，以及 $ h^2_*(M(1,1), M(1,1)) = 5 $。
• 显式构造了Cartan型代数的第二上同调群的生成元。
• 结果表明，Cartan型群概形的形变是非平凡的，且在结构上比经典型群概形的形变更为丰富。