[论文解读] Simple invariant solutions embedded in 2D Kolmogorov turbulence

Gary J. Chandler, Rich R. Kerswell|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出从二维科莫戈罗夫湍流的长时间直接数值模拟（DNS）中提取简单的不变解——精确的周期性流动——以基于周期轨道理论的原理重构湍流统计。在低雷诺数（Re=40）时，成功识别出50个周期性流动，主要位于相空间中最常访问的区域，从而合理再现了能量和耗散的概率密度函数；然而，由于数据长度不足，该方法在更高雷诺数下失效。

ABSTRACT

We consider long simulations of 2D Kolmogorov turbulence body-forced by $\sin4y \ex$ on the torus $(x,y) \in [0,2π]^2$ with the purpose of extracting simple invariant sets or `exact recurrent flows' embedded in this turbulence. Each recurrent flow represents a sustained closed cycle of dynamical processes which underpins the turbulence. These are used to reconstruct the turbulence statistics in the spirit of Periodic Orbit Theory derived for certain types of low dimensional chaos. The approach is found to be reasonably successful at a low value of the forcing where the flow is close to but not fully in its asymptotic (strongly) turbulent regime. Here, a total of 50 recurrent flows are found with the majority buried in the part of phase space most populated by the turbulence giving rise to a good reproduction of the energy and dissipation probability density functions. However, at higher forcing amplitudes now in the asymptotic turbulent regime, the generated turbulence data set proves insufficiently long to yield enough recurrent flows to make viable predictions. Despite this, the general approach seems promising providing enough simulation data is available since it is open to extensive automation and naturally generates dynamically important exact solutions for the flow.

研究动机与目标

• 通过长时间直接数值模拟，从二维科莫戈罗夫湍流中识别出简单的不变解——精确的周期性流动。
• 检验这些周期性流动在低维混沌的周期轨道理论启发下，是否能够重构关键的湍流统计特性。
• 评估将周期性流动作为基础用于预测高维、完全湍流系统中湍流行为的可行性。
• 评估模拟长度对可提取周期性流动数量和多样性的影响力，特别是在渐近湍流状态下。
• 探索在不同雷诺数下对周期性流动集合进行自动化处理和外推的潜力。

提出的方法

• 在环面上对二维科莫戈罗夫湍流进行长时间直接数值模拟（DNS），施加单色强迫 sin(4y) 于x方向。
• 使用近似周期性检测方法识别那些返回初始状态附近轨迹的点，以指示存在周期性或周期性行为。
• 应用弧长延拓法，将近似周期性解精炼为精确的不变解（即相空间中的闭合轨道）。
• 评估每个提取出的周期性流动的稳定性，以判断其动力学重要性及其在湍流吸引子中的潜在作用。
• 利用提取出的周期性流动集合，通过加权和的方式重构湍流统计量，如能量和耗散的概率密度函数。
• 通过将周期性流动属性的加权和与完整DNS统计结果进行比较，评估重构的成功程度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从二维科莫戈罗夫湍流的长时间DNS中可靠地提取精确周期性流动？
• RQ2 这些周期性流动在多大程度上能够再现湍流的统计特性，如能量和耗散分布？
• RQ3 可提取周期性流动的数量和质量如何依赖于雷诺数和模拟长度？
• RQ4 基于周期轨道理论的方法是否适用于重构高维系统（如二维湍流）中的湍流统计？
• RQ5 能否通过延拓和重新加权，利用提取出的周期性流动预测不同雷诺数下的统计特性？

主要发现

• 在 Re=40 时，成功提取出50个周期性流动，其中大多数位于相空间中访问最频繁的区域，从而实现了对能量和耗散概率密度函数的合理重构。
• 在 Re=40 时的重构性能更多依赖于主导相空间区域中周期性流动的密度，而非复杂的加权方案。
• 在 Re=60、80 和 100 时，可提取的周期性流动数量不足以进行有效的统计预测，主要原因是DNS数据长度不足。
• 模拟长度为 10^5 个时间单位时，对 Re=40 刚好足够，但估计对 Re=60 及以上情况而言，数据长度短了两个数量级。
• 尽管在高雷诺数下成功有限，但每个提取出的周期性流动都是具有动力学意义的精确不变解，代表了湍流背后持续存在的有序动力学过程。
• 该方法在自动化方面具有前景，若能获得足够大的周期性流动集合，在原则上可扩展用于预测不同雷诺数下的统计特性。