[论文解读] Simple non-Hamiltonian systems with an invariant measure

A. V. Tsiganov|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2012

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过变形标准泊松括号并应用时间重参数化，提出了一类具有不变测度的简单非哈密顿系统。关键结果表明，非完整Veselova系统与Chaplygin系统在球面上轨迹等价于一个哈密顿系统，从而解释了它们的可积性以及Chaplygin变换的适用性。

ABSTRACT

We propose a simple construction of the non-Hamiltonian dynamical systems possessing an invariant measure. These non-Hamiltonian systems are deformations of the Hamiltonian systems associated with trivial deformations of the canonical Poisson brackets and time transformation. Sometimes these non-Hamiltonian systems can be identified with known nonholonomic systems and, therefore, the results are illustrated through the Chaplygin ball and the Veselova system.

研究动机与目标

• 构建具有不变测度的简单非哈密顿动力系统。
• 展示如何通过时间重参数化与标准泊松括号的变形，从哈密顿系统生成此类系统。
• 建立非完整Veselova系统与Chaplygin系统和球面上哈密顿系统之间的轨迹等价性。
• 阐明在可积非完整系统背景下，Chaplygin变换的几何与动力学起源。

提出的方法

• 通过缩放动量 $ p_k \to g(q)p_k $ 变形标准泊松括号，得到具有非标准结构常数的新泊松结构 $ \{.,.\}_g $。
• 引入时间重参数化 $ dt_d = g(q) dt_g $，将哈密顿流转化为具有新向量场 $ \widetilde{Z} = g(z)Z $ 的共形哈密顿系统。
• 证明所得非哈密顿系统保持不变测度 $ \mu_d = g^{1-n} dq\,dp $，该测度由变换的雅可比行列式导出。
• 通过将Veselova与Chaplygin系统的泊松括号和不变测度与球面上变形哈密顿系统的对应量相匹配，将该方法应用于这两个系统。
• 利用坐标变换 $ M \to K $ 与时间变换，将Veselova系统与 $ e^*(3) $ 上的哈密顿系统关联，实现轨迹等价。
• 证明当满足特定参数关系 $ \hat{a}_i = 1 - d a_i $ 时，Veselova系统与Chaplygin系统的泊松括号和不变测度完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过变形与时间重参数化，系统地从哈密顿系统构造出具有不变测度的非哈密顿系统？
• RQ2 标准泊松括号的变形与时间变换如何影响不变测度的存在性与形式？
• RQ3 非完整Veselova系统与Chaplygin系统之间存在何种几何与动力学关系？
• RQ4 在何种条件下，非哈密顿系统可通过变量变换与时间变换与哈密顿系统关联？
• RQ5 为何Chaplygin变换适用于Veselova系统？其背后的几何起源是什么？

主要发现

• 通过 $ p_k \to g(q)p_k $ 与 $ dt_d = g(q)dt_g $ 得到的非哈密顿系统具有不变测度 $ \mu_d = g^{1-n} dq\,dp $，并保持原哈密顿流的轨道不变。
• 变换后的系统为共形哈密顿系统，其向量场为 $ \widetilde{Z} = g(z)Z $；若原向量场完备，则 $ \widetilde{Z} $ 关于新泊松括号 $ \{.,.\}' $ 为哈密顿向量场。
• 对于广义Veselova系统，当 $ (\omega, x) = b \in \mathbb{R} $ 时，其在 $ (x,K) $ 坐标下的不变测度为 $ \mu_v = \hat{g}^{-1} dx\,dK $，其中 $ \hat{g}(x) = (x, \hat{\mathbf{A}}x)^{1/2} $。
• 当 $ \hat{a}_i = 1 - d a_i $ 时，Veselova系统的泊松括号 $ \{.,.\}_v $ 与Chaplygin摆的泊松括号 $ \{.,.\}_g $ 一致，确立了结构等价性。
• 在 $ c = 0 $ 条件下，Veselova系统与球面上的哈密顿系统轨迹等价，其积分关系为 $ \hat{H}_1 = \widetilde{H}_2 - d\widetilde{H}_1 $，$ \hat{H}_2 = \widetilde{H}_2 $。
• 三个系统——Veselova系统、Chaplygin系统与球面上的哈密顿系统——共享相同的拉格朗日叶状结构与未参数化的轨迹，从而确认了它们的轨迹等价性。