[论文解读] Simple polytopes arising from finite graphs

Hidefumi Ohsugi, Takayuki Hibi|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2008

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文分类了边多面体为单纯多面体的有限图，证明了此类多面体的环面理想具有二次Gröbner基，并计算了其Ehrhart多项式与归一化体积。关键贡献在于对产生单纯边多面体的图给出了完整刻画，将图的组合结构与关联多面体的代数与几何性质联系起来。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite graph allowing loops, having no multiple edge and no isolated vertex. We associate $G$ with the edge polytope ${\cal P}_G$ and the toric ideal $I_G$. By classifying graphs whose edge polytope is simple, it is proved that the toric ideals $I_G$ of $G$ possesses a quadratic Gröbner basis if the edge polytope ${\cal P}_G$ of $G$ is simple. It is also shown that, for a finite graph $G$, the edge polytope is simple but not a simplex if and only if it is smooth but not a simplex. Moreover, the Ehrhart polynomial and the normalized volume of simple edge polytopes are computed.

研究动机与目标

• 对所有边多面体为单纯多面体的有限图进行分类。
• 证明单纯边多面体的环面理想存在二次Gröbner基。
• 计算单纯边多面体的Ehrhart多项式与归一化体积。
• 阐明单纯性、光滑性与边多面体中无单形结构之间的关系。

提出的方法

• 将边多面体定义为有限图G中与边和环相关的向量ρ(e)的凸包。
• 使用条件(*)，确保当两个端点均有环时，边不冗余。
• 通过图的组合条件刻画边多面体的单纯性，特别是涉及诱导子图与度数的条件。
• 应用Gröbner基理论，证明当PG为单纯多面体时，环面理想IG存在二次、平方自由的首项理想。
• 利用边环K[G]的Hilbert函数计算Ehrhart多项式，利用平方自由首项理想的存在的优势。
• 基于图的结构（完全二部图、有环的图、诱导子图）推导Ehrhart多项式与归一化体积的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限图G会产生单纯边多面体PG？
• RQ2 单纯边多面体的环面理想IG是否总是具有二次Gröbner基？
• RQ3 何时单纯边多面体也是光滑的，这与其组合结构有何关系？
• RQ4 单纯边多面体的Ehrhart多项式如何用图参数表示？
• RQ5 如何从图中计算单纯边多面体的归一化体积？

主要发现

• 有限图G的边多面体PG为单纯多面体，当且仅当其满足特定结构条件：当两个端点均有环时，边不冗余，且某些诱导子图中无度数为1的顶点，或无特定形式的偶环。
• 对于任意边多面体PG为单纯多面体的图G，其环面理想IG均存在具有平方自由首项单项式的二次Gröbner基。
• 边多面体PG为单纯多面体但非单形，当且仅当其为光滑但非单形。
• 对于两部分大小分别为p与q的完全二部图G，Ehrhart多项式为 i(PG, m) = (p+m-1 choose p-1)(q+m-1 choose q-1)，归一化体积为 (p+q-2 choose p-1)。
• 若G有p个环与d个顶点，W为非环顶点的集合，则 i(PG, m) = sum_{j=1}^p (j+m-2 choose j-1)(d-j+m choose d-j)，归一化体积为 sum_{j=1}^p (d-1 choose j-1)。
• PG的Ehrhart多项式与边环K[G]的Hilbert函数一致，由于存在平方自由首项理想，该边环为正则环。