[论文解读] Simple reduced $L^p$ operator crossed products with unique trace

Sanaz Pooya, Shirin Hejazian|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文证明了当 $ p \in (1,\infty) $ 时，若 $ G $ 为可数的 Powers 群，$ A $ 为单位元的、$ G $-简单的 $ L^p $ 算子代数，且作用是等距且非退化的，则约化 $ L^p $ 算子半直积 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 是单的，并且存在唯一的归一化迹。该结果通过 $ L^p $ 与 $ L^q $ 空间之间的对偶性，将 Powers 的 $ C^* $-代数单性与迹唯一性结果推广至 $ L^p $ 框架。

ABSTRACT

In this article we study simplicity and traces of reduced $L^p$ operator crossed products $F^p_{\mathrm{r}}(G, A, α)$. Given $p \in (1, \infty)$, let $G$ be a Powers group, and let $α\colon G o Aut(A)$ be an isometric action of $G$ on a unital $L^p$ operator algebra $A$ such that $A$ is $G$-simple. We prove that the reduced $L^p$ operator crossed product of $A$ by $G$, $F^p_{\mathrm{r}}(G, A, α)$, is simple. Moreover, we show that traces on $F^p_{\mathrm{r}}(G, A, α)$ are in correspondence with $G$-invariant traces on A. Our results generalize the results obtained by de la Harpe for reduced $C^*$crossed products in 1985. By letting $G$ be a countable nonabelian free group as a special case, we recover an analogue of a result of Powers from 1975. For the case $p = 1$, it turns out that (reduced) $L^p$ operator group algebras are not simple.

研究动机与目标

• 将 de la Harpe 和 Skandalis 关于 $ C^* $-代数半直积的结果推广至 $ p \in (1,\infty) $ 的 $ L^p $ 算子代数框架。
• 在 $ A $ 为单位元、$ G $-简单且 $ G $-作用等距的条件下，建立约化 $ L^p $ 算子半直积 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 的单性。
• 通过标准条件期望 $ E $，将 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 上的迹刻画为 $ A $ 上 $ G $-不变迹的拉回。
• 证明可数 Powers 群的约化 $ L^p $ 群代数 $ F^p_{\mathrm{r}}(G) $ 是单的，并具有唯一的归一化迹。
• 表明当 $ p = 1 $ 时该结果不成立，强调了框架中 $ p > 1 $ 的必要性。

提出的方法

• 利用共轭指数 $ p, q \in (1,\infty) $ 的 $ L^p $ 与 $ L^q $ 空间之间的对偶性，以克服 $ L^p $-空间中缺乏正交投影的问题。
• 应用标准条件期望 $ E: F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) \to A $，其将元素映射为其在半直积中的 $ e $-分量。
• 通过 $ A $ 的 $ G $-单性与紧支集函数的稠密性，构造任一非零理想 $ I $ 中满足 $ E(a) = 1_A $ 的元素 $ a \in I $。
• 采用类似平均遍历定理的论证：通过对共轭 $ u_{h_j} a u_{h_j}^{-1} $ 进行平均，逼近单位元，从而证明理想中的可逆性。
• 利用 $ A $ 上的 $ G $-不变迹通过 $ \sigma \mapsto \sigma \circ E $ 的方式诱导出 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 上的迹，并通过共轭下的迹不变性证明其逆命题。
• 利用条件期望将半直积上的迹与基代数 $ A $ 上的迹联系起来，建立自然的双射关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，约化 $ L^p $ 算子半直积 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 对于 $ p \in (1,\infty) $ 是单的？
• RQ2 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 上的迹与 $ A $ 上的 $ G $-不变迹有何关系？
• RQ3 当 $ A $ 具有唯一的归一化迹时，$ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 上的归一化迹唯一性是否成立？
• RQ4 为何即使对于可数的 Powers 群，单性结果在 $ p = 1 $ 时不成立？
• RQ5 Powers 的 $ C^* $-代数在单性与迹唯一性方面的结果，能在多大程度上推广至 $ L^p $ 算子代数框架？

主要发现

• 对于 $ p \in (1,\infty) $，当 $ G $ 为可数的 Powers 群，$ A $ 为单位元且 $ G $-简单的 $ L^p $ 算子代数，且 $ (G,A,\alpha) $ 为可分的、非退化可表示的等距 $ G $-$ L^p $ 算子代数时，约化 $ L^p $ 算子半直积 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 是单的。
• $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 上的迹与 $ A $ 上的 $ G $-不变迹之间存在自然双射，由 $ \tau = \sigma \circ E $ 给出，其中 $ E $ 为标准条件期望。
• 若 $ A $ 具有唯一的归一化迹，则 $ F^p_{\mathrm{r}}(G,A,\alpha) $ 也具有唯一的归一化迹。
• 可数 Powers 群 $ G $ 的约化 $ L^p $ 群代数 $ F^p_{\mathrm{r}}(G) $ 对于 $ p \in (1,\infty) $ 是单的，并且具有唯一的归一化迹。
• 当 $ p = 1 $ 时，该结果不成立：对于任意可数离散群 $ G $，$ F^1_{\mathrm{r}}(G) $ 与 $ F^1(G) $ 均非单的，这是由于存在通过平凡同态到 $ \mathbb{C} $ 的非平凡理想所导致。
• $ A $ 的单位元性是关键；即使在 $ p=2 $ 的情况下，对于非单位元的 $ L^p $ 算子代数，该结果也失效。