[论文解读] Simple rules of functional integration in the Schwarzian theory: SYK correlators

V. V. Belokurov, Evgeniy T. Shavgulidze|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 52被引用 5

一句话总结

本文建立了施瓦茨函数量子力学中函数积分的通用规则，使萨赫德夫-叶-基塔耶夫（SYK）模型中相关函数的显式计算成为可能。通过利用施瓦茨测度在 $SL(2,\mathbb{R})$ 变换下的准不变性，并在商空间 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)/SL(2,\mathbb{R})$ 和 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(\mathbb{R})/P$ 上进行积分，将复杂的函数积分简化为可处理的多重积分，从而得到两、四点相关函数的精确表达式，包括非时间有序（OTO）四点函数。

ABSTRACT

We derive the general rules of functional integration in the theories of the Schwarzian type, and evaluate explicitly the functional integrals assigning correlation functions in the SYK model.

研究动机与目标

• 开发施瓦茨型理论中函数积分的系统化微积分方法，这些理论是 SYK 模型和杰基夫-泰特博伊姆引力的基础。
• 通过引入适当的商空间分解，解决在微分同胚群上带有非紧致子群的函数积分评估难题。
• 推导出通用且简洁的规则，将函数积分简化为普通多重积分，从而实现相关函数的精确计算。
• 利用所推导的积分规则，为 SYK 模型中的两、四点相关函数提供显式解析表达式。

提出的方法

• 利用施瓦茨测度 $\mu_\sigma(d\varphi) = \exp\left\{\frac{1}{\sigma^2}\int_{S^1} \mathcal{S}_\varphi(t) dt\right\} d\varphi$ 在 $SL(2,\mathbb{R})$ 变换下的准不变性，定义在商空间 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)/SL(2,\mathbb{R})$ 上的积分。
• 将相同原理应用于 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(\mathbb{R})/P$，其中 $P$ 是 $SL(2,\mathbb{R})$ 的非紧致子群，由仿射变换 $f \mapsto af + b$ 构成，确保对不变被积函数的收敛性。
• 将微分同胚上的函数积分简化为对 $u = \varphi'(0)$、$v = \varphi'(1)$ 等变量的多重积分，并通过拉普拉斯型变换引入辅助变量 $\theta_i$。
• 利用 $\mathcal{S}_f(t)$ 的表示形式，通过合流超几何函数和 $\sinh$/$\sin$ 积分，将路径积分转化为本征模态之和。
• 通过在 $u,v$ 上的双重积分及随后对 $\theta$ 的积分，推导出两-点函数 $\mathcal{G}_2^n(0,\tau)$ 的精确表达式，得到包含贝塔函数和超几何函数的闭式表达。
• 将该方法应用于计算 OTO 四-点函数 $\mathcal{G}_4^{OTO}(0,\tau_2;\tau_1,\tau_3)$，通过分割时间区间并引入三个独立的 $\theta$-积分，分别带有指数和三角函数因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管对称群 $SL(2,\mathbb{R})$ 非紧致，如何系统地评估施瓦茨理论中的函数积分？
• RQ2 哪些通用规则可将 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)$ 上的函数积分简化为有限维多重积分？
• RQ3 积分区域的选择——$\mathrm{Diff}^{1}_{+}(S^1)/SL(2,\mathbb{R})$ 与 $\mathrm{Diff}^{1}_{+}(\mathbb{R})/P$——如何影响所得相关函数？
• RQ4 能否在此框架下为 SYK 模型中的 2-点与 OTO 4-点相关函数推导出精确解析表达式？
• RQ5 2-点函数在 $\tau \to \infty$ 时的渐近行为如何从积分结构中显现？

主要发现

• 两-点相关函数 $\mathcal{G}_2^n(0,\tau)$ 的表达式为 $2\pi^{-3/2}\left(\frac{\sigma^2}{2}\right)^{(n-1)/2} B\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2}\right) \tau^{-1/2} \int_0^{\infty} d\theta \, \sin\left(\frac{4\pi\theta}{\sigma^2\tau}\right) \sinh\theta \, \exp\left\{-\frac{2}{\sigma^2\tau}(\theta^2 - \pi^2)\right\} \times F\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2};\frac{n+1}{2}+1;\frac{1 - \cosh\theta}{2}\right)$。
• 当 $n=2$ 时，该表达式简化为 $\left(\frac{\sigma^2}{2\pi^3}\right)^{1/2} \tau^{-1/2} \int_0^{\infty} d\theta \, \exp\left\{-\frac{2}{\sigma^2\tau}(\theta^2 - \pi^2)\right\} \sin\left(\frac{4\pi\theta}{\sigma^2\tau}\right) \left[\frac{1}{\sinh\theta} - \frac{\theta \cosh\theta}{\sinh^2\theta}\right]$，为 2-点函数提供了精确的闭式表达。
• 当 $\tau \to \infty$ 时，$\mathcal{G}_2^n(0,\tau)$ 的渐近行为为 $4\pi^{-1/2}\left(\frac{\sigma^2}{2}\right)^{(n-3)/2} B\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2}\right) \tau^{-3/2} \int_0^{\infty} \theta \sinh\theta \, F\left(\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2};\frac{n+1}{2}+1;\frac{1 - \cosh\theta}{2}\right) d\theta$，表明其呈现幂律衰减。
• OTO 四-点函数 $\mathcal{G}_4^{OTO}(0,\tau_2;\tau_1,\tau_3)$ 表示为一个 7 维积分，包含三个 $\theta$-积分、三个 $x,y$-积分以及对 $z_1,z_2$ 的双重积分，显式依赖于 $\tau_1$、$\tau_2 - \tau_1$、$\tau_3 - \tau_2$ 和完整的时间序。
• OTO 函数表现出非平凡的时间序依赖性，且不可分解为 2-点函数的乘积，证实其在探测量子混沌中的作用。
• 四-点函数 $\mathcal{G}_4^{TO}$ 可分解为 $\mathcal{G}_2(0,\tau_1) \mathcal{G}_2(\tau_2,\tau_3)$，表明时间有序相关函数仅为 2-点函数的乘积，与 OTO 情况形成鲜明对比。