[论文解读] Simple Toeplitz subshifts: combinatorial properties and uniformity of cocycles

Daniel Sell|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2020

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 80被引用 4

一句话总结

本文通过雅可比算子分析复杂度、重复性与谱性质，研究了简单托普利茨次移位——组合结构化的符号动力系统。引入了首项序列条件，证明在该条件下局部常值 SL(2,R)-上链胞是均匀的，并确立了这些次移位上雅可比算子的谱为勒贝格测度为零的康托集，将先前关于薛定谔算子的结果推广至更广泛的雅可比类。

ABSTRACT

We investigate combinatorial properties of aperiodic simple Toeplitz subshifts, as well as spectral properties of Jacobi operators defined by them. More precisely, we derive explicit formulas for complexity, palindrome complexity and, for sufficiently large word length, repetitivity. In addition we give a complete description of the de Bruijn graphs. We characterise alpha-repetitivity and, based on a work by Liu and Qu from 2011, the Boshernitzan condition. These combinatorial results can also be found in [arXiv:1801.08778]. Regarding the Jacobi operators, we show that they have empty pure point spectrum for almost all elements in the subshift. This generalises a result of Grigorchuk, Lenz and Nagnibeda from 2018. In addition the spectrum is shown to be a Cantor set of Lebesgue measure zero. In fact we prove the stronger statement that every locally constant SL(2,R)-cocycle is uniform. To do so, we use the so-called leading sequence condition for subshifts, which stems from a collaboration with Grigorchuk, Lenz and Nagnibeda, see [arXiv:1906.01898]. This approach allows us to establish uniformity of cocycles for simple Toeplitz subshifts and Sturmian subshifts in a unified way. An appendix briefly reviews the connection between Jacobi operators on simple Toeplitz subshifts and Laplacians on Schreier graphs of self-similar groups.

研究动机与目标

• 表征简单托普利茨次移位的组合结构，包括复杂度、回文复杂度和重复性。
• 将谱结果从薛定谔算子推广至这些次移位上的雅可比算子，尤其关注纯点谱与康托谱。
• 引入并应用首项序列条件作为次移位中局部常值 SL(2,R)-上链胞均匀性的统一判据。
• 确立简单托普利茨次移位满足首项序列条件，从而得出谱结论。
• 证明这些次移位上雅可比算子的谱为零测度康托集，推广了基于迹映射的先前结果。

提出的方法

• 通过具有高度规则周期结构的一类托普利茨词的子类构造简单托普利茨次移位。
• 利用逼近部分词的结构分解，推导出复杂度、回文复杂度和渐近重复性的显式公式。
• 通过基于底层周期结构的递归构造，表征这些次移位的德布鲁因图。
• 引入首项序列条件作为局部常值 SL(2,R)-上链胞均匀性的新判据。
• 应用戈登型论证排除特征值，并证明在次移位中几乎处处的纯点谱为空。
• 利用首项序列条件证明修正转移矩阵上链胞的均匀性，从而推出谱为勒贝格测度为零的康托集。

实验结果

研究问题

• RQ1 简单托普利茨次移位的确切组合不变量——复杂度、回文复杂度和重复性——是什么？
• RQ2 如何表征简单托普利茨次移位的博舍尼茨坦条件与 α-重复性？
• RQ3 在何种条件下，雅可比算子在次移位上的转移矩阵上链胞是均匀的？
• RQ4 能否在薛定谔情形之外，建立简单托普利茨次移位上雅可比算子的康托谱性质？
• RQ5 简单托普利茨次移位是否满足新引入的首项序列条件，其谱后果是什么？

主要发现

• 推导出简单托普利茨次移位的复杂度与回文复杂度的显式公式，后者被完全表征。
• 对于足够长的词长，简单托普利茨次移位的重复性被显式计算，并显示其呈对数增长。
• 通过基于底层周期模式的递归结构，完全描述了简单托普利茨次移位的德布鲁因图。
• 基于刘与曲（2011）的结果，表征了所有简单托普利茨次移位的 α-重复性与博舍尼茨坦条件。
• 证明了在次移位中几乎所有 ω 处，简单托普利茨次移位上的雅可比算子具有空的纯点谱，推广了格里戈尔丘克、伦茨与纳格尼贝达的结果。
• 通过首项序列条件与转移矩阵上链胞的均匀性，确立了每个简单托普利茨次移位上雅可比算子的谱为勒贝格测度为零的康托集。