[论文解读] Simplicial Complexity: piecewise linear motion planning in robotics

Jesús González|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Robotic Path Planning Algorithms被引用 7

一句话总结

本文引入了单纯复形复杂度（SC），这是法伯的拓扑复杂度的一种离散化、可算法实现的变体，专为有限单纯复形而设计。通过使用重心细分和单纯映射的同伦性，该方法恢复了其几何实现 ∥K∥ 的拓扑复杂度，证明了对于有限复形有 SC(K) = TC(∥K∥)。主要贡献在于，通过组合拓扑方法，构建了一套可计算的框架，用于在机器人学中实现最优的分段线性运动规划。

ABSTRACT

Using the notion of contiguity of simplicial maps, we adapt Farber's topological complexity to the realm of simplicial complexes. We show that, for a finite simplicial complex $K$, our discretized concept recovers the topological complexity of the realization $\|K\|$. Our approach is well suited for designing and implementing algorithms that search for optimal motion planners for autonomous systems in real-life applications.

研究动机与目标

• 通过离散化法伯的TC概念，弥合拓扑复杂度与机器人学中实际运动规划之间的差距。
• 开发一种可计算、可算法实现的框架，利用单纯复形构建最优运动规划器。
• 克服先前离散模型的局限性，这些模型无法捕捉已知的TC值，例如 TC(S¹) = 1。
• 建立一个组合不变量——单纯复形复杂度，使其能恢复空间实现的原始拓扑复杂度。

提出的方法

• 使用重心细分细化乘积复形 K × K，以实现路径的分段线性逼近。
• 将 (b,c)-单纯复形复杂度 SCᵇᶜ(K) 定义为：Sᵈᵇ(K×K) 的最小覆盖子复形数量减一，其中投影 π₁ 和 π₂ 是 c-同伦的。
• 采用单纯映射的同伦性作为同伦的离散类比，实现算法化应用。
• 应用单纯逼近理论，将拓扑同伦关系与组合同伦类相联系。
• 引入稳定化单纯复形复杂度 SC(K) 作为 SCᵇᶜ(K) 在 b 和 c 增大时的极限，确保其收敛于 TC(∥K∥)。
• 利用评估映射 e: P(∥K∥) → ∥K∥×∥K∥ 和引理 1.1，将局部截面的存在性等价于投影的同伦性。

实验结果

研究问题

• RQ1 拓扑复杂度能否以一种保持有限单纯复形原始值的方式实现离散化？
• RQ2 能否构建一个组合不变量，以实现最优运动规划器的算法计算？
• RQ3 使用重心细分与同伦性是否能提供比先前有限空间方法更灵活、更精确的离散模型？
• RQ4 对于有限复形，稳定化单纯复形复杂度 SC(K) 是否等于原始拓扑复杂度 TC(∥K∥)？

主要发现

• 对于任意有限单纯复形 K，单纯复形复杂度 SC(K) 等于拓扑复杂度 TC(∥K∥)。
• 该构造以纯组合术语恢复了已知结果 TC(S¹) = 1，解决了先前离散模型的失败问题。
• SC(K) 是良定义的，且当 SCᵇᶜ(K) 在 b 和 c 足够大时趋于稳定，确保其收敛于 TC(∥K∥)。
• 该方法可实现最优的、分段线性的运动规划器，且适用于计算机实现。
• 不变量 SC(K) 在实现的同伦等价下保持不变，且 SC(K) = 0（相应地，1）当且仅当 ∥K∥ 是可缩的（相应地，同伦等价于奇数维球面）。
• 序列 SCᵇᶜ(K) 在 b 和 c 上均是非递增的，且 SC(K) ≥ TC(∥K∥)，在定理 2.6 中建立了等式关系。