[论文解读] Simplicial volume, Barycenter method, and Bounded cohomology

Sungwoon Kim, Инканг Ким|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文为大多数非紧型高阶对称空间中重心直线化映射的余维一雅可比行列式建立了统一的上界，证明了大多数 $\rQ$-阶 1 局部对称空间的局部有限单纯体积为正。该结果解决了长期悬而未决的难题，并改进了Connell与Farb的次数定理。

ABSTRACT

We show that codimension one dimensional Jacobian of the barycentric straightening map is uniformly bounded for most of the higher rank symmetric spaces. As a consequence, we prove that the locally finite simplicial volume of most $\mathbb Q$-rank $1$ locally symmetric spaces is positive, which has been open for many years. Finally we improve the degree theorem for $\mathbb Q$-rank $1$ locally symmetric spaces of Connell and Farb. We also address the issue of surjectivity of the comparison map in real rank $2$ case.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的问题：大多数 $\rQ$-阶 1 局部对称空间的局部有限单纯体积是否为正。
• 分析高阶对称空间中重心直线化映射的 $k$-雅可比行列式，特别是 $k = \dim(X) - 1$ 的情形。
• 首次在高阶情形下对余维一雅可比行列式提供统一的上界，推进了对有界上同调与单纯体积的理解。
• 通过Connell与Farb的工作改进 $\rQ$-阶 1 局部对称空间的次数定理。
• 研究实阶为2时，从有界上同调到连续上同调的比较映射的满射性，解决有界上同调中的一个关键问题。

提出的方法

• 应用重心法构造一个在无一阶因子的对称空间中余维一雅可比行列式有统一有界的直线化映射。
• 利用van Est同构将对称空间上的 $G$-不变微分形式与连续有界上同调类联系起来。
• 通过测地单纯形上的积分显式构造上链代表：$\mathcal{J}(\omega)(g_0,\dots,g_k) = \int_{[g_0,\dots,g_k]} \omega$。
• 分析实半单李群根系中的最大奇异向量，以界定雅可比映射像的维数。
• 采用算法方法，通过检查 $Q_v$ 上的维数条件，验证雅可比行列式在所有相关对称空间中保持统一有界。
• 利用根系数据（如正根个数、根空间维数）确保算法在所有情形下成功，包括 $E_6(6)$、$E_7(7)$、$E_8(8)$ 等。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于无一阶因子的高阶对称空间，重心直线化映射的余维一雅可比行列式是否统一有界？
• RQ2 雅可比行列式的统一有界性是否意味着所有度数 $k$ 的连续上同调类都是有界的，如Dupont猜想所建议？
• RQ3 能否利用此新上界证明 $\rQ$-阶 1 局部对称空间的局部有限单纯体积为正？
• RQ4 在实阶为2时，从有界上同调到连续上同调的比较映射在多大程度上不是满射？
• RQ5 能否利用此雅可比行列式估计改进 $\rQ$-阶 1 局部对称空间的次数定理？

主要发现

• 对于所有非紧型对称空间 $X$，若其无任何直接因子同构于 $\mathbb{R}$、$\mathbb{H}^2$、$\mathbb{H}^3$、$\mathrm{SL}_3\mathbb{R}/{\mathrm{SO}}(3)$、$\mathrm{SL}_4\mathbb{R}/{\mathrm{SO}}(4)$ 或 $\mathrm{Sp}_4\mathbb{R}/\mathrm{U}(2)$，其重心直线化映射的余维一雅可比行列式均为统一有界的。
• 对于所有此类 $X$，存在仅依赖于 $X$ 的常数 $C > 0$，使得对所有 $f \in C^0(\Delta^{\dim(X)-1}, X)$ 和 $\delta \in \Delta^{\dim(X)-1}$，有 $|\mathrm{Jac}(st_{\dim(X)-1}(f))(\delta)| \leq C$。
• 大多数 $\rQ$-阶 1 局部对称空间的局部有限单纯体积严格为正，从而解决了长期悬而未决的难题。
• 通过新的雅可比行列式上界，改进了 $\rQ$-阶 1 局部对称空间的次数定理。
• 实阶为2时比较映射的满射性问题已得到处理，分析表明算法方法可确保在所有情形下成功。
• 对于 $E_6$、$E_7$、$E_8$、$F_4$、$G_2$ 的所有实形式及其分裂或非分裂实现实，由于 $Q_v$ 相对于阶段数的维数足够大，雅可比行列式边界算法始终成功。