[论文解读] Simplified Pair Copula Constructions --- Limits and Extensions

Jakob Stöber, Harry Joe+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2012

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文研究了简化对配对拷贝构造（PCs）的理论极限与扩展，表明只有特定的阿基米德型和椭圆型拷贝构造——如伽马-拉普拉斯和t-拷贝构造——满足条件拷贝构造不依赖于条件值的简化假设。此外，本文还提出了在简化假设不成立时放松该假设的方法，以实现更灵活的建模。

ABSTRACT

So called pair copula constructions (PCCs), specifying multivariate distributions only in terms of bivariate building blocks (pair copulas), constitute a flexible class of dependence models. To keep them tractable for inference and model selection, the simplifying assumption that copulas of conditional distributions do not depend on the values of the variables which they are conditioned on is popular. In this paper, we show for which classes of distributions such a simplification is applicable, significantly extending the discussion of Hobæk Haff et al. (2010). In particular, we show that the only Archimedean copula in dimension d \geq 4 which is of the simplified type is that based on the gamma Laplace transform or its extension, while the Student-t copula is the only one arising from a scale mixture of Normals. Further, we illustrate how PCCs can be adapted for situations where conditional copulas depend on values which are conditioned on.

研究动机与目标

• 确定哪些多元分布允许在对配对拷贝构造中使用简化假设，即条件拷贝构造不依赖于条件值。
• 将简化PCCs的理论理解扩展至先前研究之外，特别是针对阿基米德型和椭圆型拷贝构造。
• 提供PCC类及其依赖关系的分类，如图1所示。
• 提出当简化假设不成立时扩展PCCs的方法，特别是在条件拷贝构造依赖于条件变量取值的情况下。
• 阐明尺度混合正态分布与阿基米德型拷贝构造可表示为简化PCCs的条件。

提出的方法

• 利用拉普拉斯变换理论及无穷可分分布的性质，分析条件拷贝构造的结构。
• 应用拉普拉斯变换倾斜的概念，证明时间改变的Lévy过程可导出尺度混合正态分布，从而得到t-拷贝构造。
• 采用具有指数分量的Marshall-Olkin三元拷贝构造模型，推导出条件生存函数的显式表达式。
• 推导条件生存函数的广义逆，以计算条件拷贝构造，证明其依赖于条件值。
• 利用拉普拉斯变换的泰勒级数展开，表明相同的拉普拉斯变换意味着相同的分布，从而支持对尺度混合分布的识别。
• 通过在不同分量上进行条件化（例如 $X_3 = E_{123}$）分析三元Marshall-Olkin拷贝构造的条件拷贝构造，揭示其依赖于取值的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度 $d \geq 4$ 的阿基米德型拷贝构造中，哪些满足对配对拷贝构造中的简化假设？
• RQ2 简化假设在椭圆型拷贝构造中（特别是尺度混合正态分布）成立的条件是什么？
• RQ3 当条件拷贝构造依赖于条件变量的取值时，如何扩展对配对拷贝构造？
• RQ4 拉普拉斯变换与无穷可分分布在表征有效简化PCCs中的作用是什么？
• RQ5 能否显式推导出多元分布的条件拷贝构造，并证明其依赖于条件值，如Marshall-Olkin情形所示？

主要发现

• 在维度 $d \geq 4$ 的阿基米德型拷贝构造中，唯一满足简化假设的是基于伽马拉普拉斯变换或其扩展的拷贝构造。
• 学生t-拷贝构造是唯一来自尺度混合正态分布且满足简化假设的拷贝构造。
• 对于三元Marshall-Olkin拷贝构造，$X_1, X_2 | X_3 = x_3$ 的条件拷贝构造显式依赖于 $x_3$ 的取值，表明在此情况下简化假设不成立。
• Marshall-Olkin拷贝构造的条件生存函数的广义逆表现出分段行为，取决于 $x_1, x_2$ 是否小于或大于 $x_3$，从而确认了依赖于取值的拷贝构造结构。
• 对Lévy过程进行拉普拉斯变换倾斜可导出尺度变换的随机变量，这意味着为使简化假设成立，其基础分布必须服从伽马分布。
• 从三元Marshall-Olkin模型导出的条件拷贝构造并非在所有条件值下保持恒定，其形式通过生存函数分解及对指数分量的条件化被显式计算得出。